Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32939 / 33069
↖ ↑ ↗
← S  1.653213°
E  0.939331°		 ← 610.53 m → S  1.653213°
E  0.944824°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.658704°
E  0.939331°		 ← 610.53 m →
372 750 m²		 S  1.658704°
E  0.944824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502616882324219 y=0.504600524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502616882324219 × 216)
    floor (0.502616882324219 × 65536)
    floor (32939.5)     		tx = 32939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504600524902344 × 216)
    floor (0.504600524902344 × 65536)
    floor (33069.5)     		ty = 33069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32939 / 33069 ti = "16/32939/33069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32939/33069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32939 ÷ 216
    32939 ÷ 65536     		x = 0.502609252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33069 ÷ 216
    33069 ÷ 65536     		y = 0.504592895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502609252929688 × 2 - 1) × π
    0.005218505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01639442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504592895507812 × 2 - 1) × π
    -0.009185791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0288580135712738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01639442} λ = 0.01639442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0288580135712738))-π/2
    2×atan(0.971554402213613)-π/2
    2×0.770971158904898-π/2
    1.5419423178098-1.57079632675     		φ = -0.02885401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01639442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.939331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02885401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.653213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32939 KachelY 33069 0.01639442 -0.02885401 0.939331 -1.653213
    Oben rechts KachelX + 1 32940 KachelY 33069 0.01649029 -0.02885401 0.944824 -1.653213
    Unten links KachelX 32939 KachelY + 1 33070 0.01639442 -0.02894984 0.939331 -1.658704
    Unten rechts KachelX + 1 32940 KachelY + 1 33070 0.01649029 -0.02894984 0.944824 -1.658704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02885401--0.02894984) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02885401--0.02894984) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01639442-0.01649029) × cos(-0.02885401) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999583751933741 × 6371000     		do = 610.533530771852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01639442-0.01649029) × cos(-0.02894984) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999580982647848 × 6371000     		du = 610.531839325896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02885401)-sin(-0.02894984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999583751933741-0.999580982647848)×R²
    abs(0.01649029-0.01639442)×2.76928589348913e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.76928589348913e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.76928589348913e-06×40589641000000     		ar = 372750.309348916m²