Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32938 / 33071
↖ ↑ ↗
← S  1.664195°
E  0.933838°		 ← 610.53 m → S  1.664195°
E  0.939331°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.669686°
E  0.933838°		 ← 610.53 m →
372 748 m²		 S  1.669686°
E  0.939331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502601623535156 y=0.504631042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502601623535156 × 216)
    floor (0.502601623535156 × 65536)
    floor (32938.5)     		tx = 32938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504631042480469 × 216)
    floor (0.504631042480469 × 65536)
    floor (33071.5)     		ty = 33071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32938 / 33071 ti = "16/32938/33071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32938/33071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32938 ÷ 216
    32938 ÷ 65536     		x = 0.502593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33071 ÷ 216
    33071 ÷ 65536     		y = 0.504623413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502593994140625 × 2 - 1) × π
    0.00518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01629855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504623413085938 × 2 - 1) × π
    -0.009246826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.029049761169754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01629855} λ = 0.01629855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.029049761169754))-π/2
    2×atan(0.971368126849693)-π/2
    2×0.770875325278598-π/2
    1.5417506505572-1.57079632675     		φ = -0.02904568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01629855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.933838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02904568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.664195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32938 KachelY 33071 0.01629855 -0.02904568 0.933838 -1.664195
    Oben rechts KachelX + 1 32939 KachelY 33071 0.01639442 -0.02904568 0.939331 -1.664195
    Unten links KachelX 32938 KachelY + 1 33072 0.01629855 -0.02914151 0.933838 -1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 32939 KachelY + 1 33072 0.01639442 -0.02914151 0.939331 -1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02904568--0.02914151) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dl = 610.532929999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02904568--0.02914151) × R
    9.58299999999981e-05 × 6371000     		dr = 610.532929999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01629855-0.01639442) × cos(-0.02904568) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.999578203891997 × 6371000     		do = 610.530142095807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01629855-0.01639442) × cos(-0.02914151) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 610.52843943578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02904568)-sin(-0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999578203891997-0.99957541624609)×R²
    abs(0.01639442-0.01629855)×2.78764590766478e-06×R²
    9.58700000000014e-05×2.78764590766478e-06×6371000²
    9.58700000000014e-05×2.78764590766478e-06×40589641000000     		ar = 372748.23702732m²