Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32931 / 38190
↖ ↑ ↗
← S 28.526623°
E  0.895386°		 ← 536.64 m → S 28.526623°
E  0.900879°		 →
↑
536.63 m
↓
↑
536.63 m
↓
S 28.531449°
E  0.895386°		 ← 536.61 m →
287 968 m²		 S 28.531449°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502494812011719 y=0.582740783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502494812011719 × 216)
    floor (0.502494812011719 × 65536)
    floor (32931.5)     		tx = 32931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582740783691406 × 216)
    floor (0.582740783691406 × 65536)
    floor (38190.5)     		ty = 38190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32931 / 38190 ti = "16/32931/38190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32931/38190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32931 ÷ 216
    32931 ÷ 65536     		x = 0.502487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38190 ÷ 216
    38190 ÷ 65536     		y = 0.582733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502487182617188 × 2 - 1) × π
    0.004974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01562743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.16546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.519827739479889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01562743} λ = 0.01562743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.519827739479889))-π/2
    2×atan(0.594622969210319)-π/2
    2×0.536456420564656-π/2
    1.07291284112931-1.57079632675     		φ = -0.49788349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01562743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49788349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.526623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32931 KachelY 38190 0.01562743 -0.49788349 0.895386 -28.526623
    Oben rechts KachelX + 1 32932 KachelY 38190 0.01572330 -0.49788349 0.900879 -28.526623
    Unten links KachelX 32931 KachelY + 1 38191 0.01562743 -0.49796772 0.895386 -28.531449
    Unten rechts KachelX + 1 32932 KachelY + 1 38191 0.01572330 -0.49796772 0.900879 -28.531449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49788349--0.49796772) × R
    8.42300000000185e-05 × 6371000     		dl = 536.629330000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49788349--0.49796772) × R
    8.42300000000185e-05 × 6371000     		dr = 536.629330000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01562743-0.01572330) × cos(-0.49788349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878595304464414 × 6371000     		do = 536.635266746279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01562743-0.01572330) × cos(-0.49796772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.878555075874829 × 6371000     		du = 536.610695615756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49788349)-sin(-0.49796772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878595304464414-0.878555075874829)×R²
    abs(0.01572330-0.01562743)×4.02285895845234e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.02285895845234e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.02285895845234e-05×40589641000000     		ar = 287967.631024003m²