Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32931 / 33073
↖ ↑ ↗
← S  1.675176°
E  0.895386°		 ← 610.53 m → S  1.675176°
E  0.900879°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
S  1.680667°
E  0.895386°		 ← 610.53 m →
372 785 m²		 S  1.680667°
E  0.900879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502494812011719 y=0.504661560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502494812011719 × 216)
    floor (0.502494812011719 × 65536)
    floor (32931.5)     		tx = 32931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504661560058594 × 216)
    floor (0.504661560058594 × 65536)
    floor (33073.5)     		ty = 33073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32931 / 33073 ti = "16/32931/33073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32931/33073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32931 ÷ 216
    32931 ÷ 65536     		x = 0.502487182617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33073 ÷ 216
    33073 ÷ 65536     		y = 0.504653930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502487182617188 × 2 - 1) × π
    0.004974365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01562743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504653930664062 × 2 - 1) × π
    -0.009307861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0292415087682343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01562743} λ = 0.01562743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0292415087682343))-π/2
    2×atan(0.971181887200202)-π/2
    2×0.77077949218596-π/2
    1.54155898437192-1.57079632675     		φ = -0.02923734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01562743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.895386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02923734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.675176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32931 KachelY 33073 0.01562743 -0.02923734 0.895386 -1.675176
    Oben rechts KachelX + 1 32932 KachelY 33073 0.01572330 -0.02923734 0.900879 -1.675176
    Unten links KachelX 32931 KachelY + 1 33074 0.01562743 -0.02933318 0.895386 -1.680667
    Unten rechts KachelX + 1 32932 KachelY + 1 33074 0.01572330 -0.02933318 0.900879 -1.680667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02923734--0.02933318) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02923734--0.02933318) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01562743-0.01572330) × cos(-0.02923734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999572619420692 × 6371000     		do = 610.52673116901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01562743-0.01572330) × cos(-0.02933318) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999569813122541 × 6371000     		du = 610.52501711642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02923734)-sin(-0.02933318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999572619420692-0.999569813122541)×R²
    abs(0.01572330-0.01562743)×2.80629815130329e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.80629815130329e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80629815130329e-06×40589641000000     		ar = 372785.047669948m²