Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32924 / 33085
↖ ↑ ↗
← S  1.741065°
E  0.856933°		 ← 610.57 m → S  1.741065°
E  0.862427°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
S  1.746556°
E  0.856933°		 ← 610.57 m →
372 772 m²		 S  1.746556°
E  0.862427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502388000488281 y=0.504844665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502388000488281 × 216)
    floor (0.502388000488281 × 65536)
    floor (32924.5)     		tx = 32924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.504844665527344 × 216)
    floor (0.504844665527344 × 65536)
    floor (33085.5)     		ty = 33085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32924 / 33085 ti = "16/32924/33085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32924/33085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32924 ÷ 216
    32924 ÷ 65536     		x = 0.50238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33085 ÷ 216
    33085 ÷ 65536     		y = 0.504837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50238037109375 × 2 - 1) × π
    0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.504837036132812 × 2 - 1) × π
    -0.009674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0303919943591156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01495631} λ = 0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0303919943591156))-π/2
    2×atan(0.970065198922912)-π/2
    2×0.770204505034032-π/2
    1.54040901006806-1.57079632675     		φ = -0.03038732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03038732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.741065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32924 KachelY 33085 0.01495631 -0.03038732 0.856933 -1.741065
    Oben rechts KachelX + 1 32925 KachelY 33085 0.01505219 -0.03038732 0.862427 -1.741065
    Unten links KachelX 32924 KachelY + 1 33086 0.01495631 -0.03048315 0.856933 -1.746556
    Unten rechts KachelX + 1 32925 KachelY + 1 33086 0.01505219 -0.03048315 0.862427 -1.746556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03038732--0.03048315) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03038732--0.03048315) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01495631-0.01505219) × cos(-0.03038732) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999538340917501 × 6371000     		do = 610.569474866197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01495631-0.01505219) × cos(-0.03048315) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999535424759188 × 6371000     		du = 610.567693526576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03038732)-sin(-0.03048315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999538340917501-0.999535424759188)×R²
    abs(0.01505219-0.01495631)×2.91615831238268e-06×R²
    9.58799999999996e-05×2.91615831238268e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.91615831238268e-06×40589641000000     		ar = 372772.226960653m²