Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32921 / 37747
↖ ↑ ↗
← S 26.367264°
E  0.840454°		 ← 547.30 m → S 26.367264°
E  0.845948°		 →
↑
547.27 m
↓
↑
547.27 m
↓
S 26.372186°
E  0.840454°		 ← 547.28 m →
299 515 m²		 S 26.372186°
E  0.845948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502342224121094 y=0.575981140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502342224121094 × 216)
    floor (0.502342224121094 × 65536)
    floor (32921.5)     		tx = 32921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575981140136719 × 216)
    floor (0.575981140136719 × 65536)
    floor (37747.5)     		ty = 37747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32921 / 37747 ti = "16/32921/37747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32921/37747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32921 ÷ 216
    32921 ÷ 65536     		x = 0.502334594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37747 ÷ 216
    37747 ÷ 65536     		y = 0.575973510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502334594726562 × 2 - 1) × π
    0.004669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01466869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575973510742188 × 2 - 1) × π
    -0.151947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.477355646416519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01466869} λ = 0.01466869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477355646416519))-π/2
    2×atan(0.620421839248093)-π/2
    2×0.555300378852877-π/2
    1.11060075770575-1.57079632675     		φ = -0.46019557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01466869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.840454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46019557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.367264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32921 KachelY 37747 0.01466869 -0.46019557 0.840454 -26.367264
    Oben rechts KachelX + 1 32922 KachelY 37747 0.01476457 -0.46019557 0.845948 -26.367264
    Unten links KachelX 32921 KachelY + 1 37748 0.01466869 -0.46028147 0.840454 -26.372186
    Unten rechts KachelX + 1 32922 KachelY + 1 37748 0.01476457 -0.46028147 0.845948 -26.372186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46019557--0.46028147) × R
    8.59000000000276e-05 × 6371000     		dl = 547.268900000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46019557--0.46028147) × R
    8.59000000000276e-05 × 6371000     		dr = 547.268900000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01466869-0.01476457) × cos(-0.46019557) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.89596565745886 × 6371000     		do = 547.301947887915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01466869-0.01476457) × cos(-0.46028147) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.895927503958467 × 6371000     		du = 547.278641765733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46019557)-sin(-0.46028147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89596565745886-0.895927503958467)×R²
    abs(0.01476457-0.01466869)×3.81535003929345e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.81535003929345e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.81535003929345e-05×40589641000000     		ar = 299514.957814777m²