Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3291 / 6377
↖ ↑ ↗
← S 70.274289°
W 35.375977°		 ← 1 649.28 m → S 70.274289°
W 35.332031°		 →
↑
1 648.69 m
↓
↑
1 648.69 m
↓
S 70.289116°
W 35.375977°		 ← 1 648.09 m →
2 718 162 m²		 S 70.289116°
W 35.332031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40179443359375 y=0.77850341796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40179443359375 × 213)
    floor (0.40179443359375 × 8192)
    floor (3291.5)     		tx = 3291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77850341796875 × 213)
    floor (0.77850341796875 × 8192)
    floor (6377.5)     		ty = 6377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3291 / 6377 ti = "13/3291/6377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3291/6377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3291 ÷ 213
    3291 ÷ 8192     		x = 0.4017333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6377 ÷ 213
    6377 ÷ 8192     		y = 0.7784423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4017333984375 × 2 - 1) × π
    -0.196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61742727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.556884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74950508853357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61742727} λ = -0.61742727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74950508853357))-π/2
    2×atan(0.173859967453002)-π/2
    2×0.172139296231379-π/2
    0.344278592462757-1.57079632675     		φ = -1.22651773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61742727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.375977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22651773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.274289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3291 KachelY 6377 -0.61742727 -1.22651773 -35.375977 -70.274289
    Oben rechts KachelX + 1 3292 KachelY 6377 -0.61666028 -1.22651773 -35.332031 -70.274289
    Unten links KachelX 3291 KachelY + 1 6378 -0.61742727 -1.22677651 -35.375977 -70.289116
    Unten rechts KachelX + 1 3292 KachelY + 1 6378 -0.61666028 -1.22677651 -35.332031 -70.289116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22651773--1.22677651) × R
    0.000258780000000014 × 6371000     		dl = 1648.68738000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22651773--1.22677651) × R
    0.000258780000000014 × 6371000     		dr = 1648.68738000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61742727--0.61666028) × cos(-1.22651773) × R
    0.000766990000000023 × 0.337517694456332 × 6371000     		do = 1649.27794921718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61742727--0.61666028) × cos(-1.22677651) × R
    0.000766990000000023 × 0.337274088579359 × 6371000     		du = 1648.08757073395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22651773)-sin(-1.22677651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337517694456332-0.337274088579359)×R²
    abs(-0.61666028--0.61742727)×0.000243605876972641×R²
    0.000766990000000023×0.000243605876972641×6371000²
    0.000766990000000023×0.000243605876972641×40589641000000     		ar = 2718162.47516594m²