Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3290 / 6407
↖ ↑ ↗
← S 70.714471°
W 35.419922°		 ← 1 613.89 m → S 70.714471°
W 35.375977°		 →
↑
1 613.33 m
↓
↑
1 613.33 m
↓
S 70.728980°
W 35.419922°		 ← 1 612.72 m →
2 602 795 m²		 S 70.728980°
W 35.375977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40167236328125 y=0.78216552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40167236328125 × 213)
    floor (0.40167236328125 × 8192)
    floor (3290.5)     		tx = 3290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78216552734375 × 213)
    floor (0.78216552734375 × 8192)
    floor (6407.5)     		ty = 6407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3290 / 6407 ti = "13/3290/6407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3290/6407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3290 ÷ 213
    3290 ÷ 8192     		x = 0.401611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6407 ÷ 213
    6407 ÷ 8192     		y = 0.7821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.19677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61819426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.564208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7725148003512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61819426} λ = -0.61819426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7725148003512))-π/2
    2×atan(0.16990517352579)-π/2
    2×0.168297992739252-π/2
    0.336595985478503-1.57079632675     		φ = -1.23420034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61819426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.419922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23420034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.714471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3290 KachelY 6407 -0.61819426 -1.23420034 -35.419922 -70.714471
    Oben rechts KachelX + 1 3291 KachelY 6407 -0.61742727 -1.23420034 -35.375977 -70.714471
    Unten links KachelX 3290 KachelY + 1 6408 -0.61819426 -1.23445357 -35.419922 -70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 3291 KachelY + 1 6408 -0.61742727 -1.23445357 -35.375977 -70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23420034--1.23445357) × R
    0.000253229999999993 × 6371000     		dl = 1613.32832999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23420034--1.23445357) × R
    0.000253229999999993 × 6371000     		dr = 1613.32832999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61819426--0.61742727) × cos(-1.23420034) × R
    0.000766990000000023 × 0.330276016901136 × 6371000     		do = 1613.89154043538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61819426--0.61742727) × cos(-1.23445357) × R
    0.000766990000000023 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 1612.72351983065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23420034)-sin(-1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330276016901136-0.330036986468592)×R²
    abs(-0.61742727--0.61819426)×0.000239030432543474×R²
    0.000766990000000023×0.000239030432543474×6371000²
    0.000766990000000023×0.000239030432543474×40589641000000     		ar = 2602794.75727493m²