Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 329 / 489
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W122.167969°		 ← 7 298.88 m → N 68.073305°
W121.992187°		 →
↑
7 309.26 m
↓
↑
7 309.26 m
↓
N 68.007571°
W122.167969°		 ← 7 319.68 m →
53 425 418 m²		 N 68.007571°
W121.992187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160888671875 y=0.239013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160888671875 × 211)
    floor (0.160888671875 × 2048)
    floor (329.5)     		tx = 329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239013671875 × 211)
    floor (0.239013671875 × 2048)
    floor (489.5)     		ty = 489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 329 / 489 ti = "11/329/489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/329/489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 329 ÷ 211
    329 ÷ 2048     		x = 0.16064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 489 ÷ 211
    489 ÷ 2048     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16064453125 × 2 - 1) × π
    -0.6787109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13223330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13223330} λ = -2.13223330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13223330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 329 KachelY 489 -2.13223330 1.18810330 -122.167969 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 330 KachelY 489 -2.12916533 1.18810330 -121.992187 68.073305
    Unten links KachelX 329 KachelY + 1 490 -2.13223330 1.18695603 -122.167969 68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 330 KachelY + 1 490 -2.12916533 1.18695603 -121.992187 68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18695603) × R
    0.00114727000000014 × 6371000     		dl = 7309.25717000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18695603) × R
    0.00114727000000014 × 6371000     		dr = 7309.25717000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13223330--2.12916533) × cos(1.18810330) × R
    0.00306797000000003 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 7298.88187193559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13223330--2.12916533) × cos(1.18695603) × R
    0.00306797000000003 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 7319.67950451042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.374484073328689)×R²
    abs(-2.12916533--2.13223330)×0.0010640332213202×R²
    0.00306797000000003×0.0010640332213202×6371000²
    0.00306797000000003×0.0010640332213202×40589641000000     		ar = 53425418.1379404m²