Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3289 / 6399
↖ ↑ ↗
← S 70.598021°
W 35.463867°		 ← 1 623.26 m → S 70.598021°
W 35.419922°		 →
↑
1 622.69 m
↓
↑
1 622.69 m
↓
S 70.612614°
W 35.463867°		 ← 1 622.09 m →
2 633 105 m²		 S 70.612614°
W 35.419922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40155029296875 y=0.78118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40155029296875 × 213)
    floor (0.40155029296875 × 8192)
    floor (3289.5)     		tx = 3289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78118896484375 × 213)
    floor (0.78118896484375 × 8192)
    floor (6399.5)     		ty = 6399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3289 / 6399 ti = "13/3289/6399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3289/6399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3289 ÷ 213
    3289 ÷ 8192     		x = 0.4014892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6399 ÷ 213
    6399 ÷ 8192     		y = 0.7811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4014892578125 × 2 - 1) × π
    -0.197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61896125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7811279296875 × 2 - 1) × π
    -0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61896125} λ = -0.61896125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76637887719983))-π/2
    2×atan(0.17095090359229)-π/2
    2×0.1693142060792-π/2
    0.3386284121584-1.57079632675     		φ = -1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61896125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.463867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3289 KachelY 6399 -0.61896125 -1.23216791 -35.463867 -70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 3290 KachelY 6399 -0.61819426 -1.23216791 -35.419922 -70.598021
    Unten links KachelX 3289 KachelY + 1 6400 -0.61896125 -1.23242261 -35.463867 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 3290 KachelY + 1 6400 -0.61819426 -1.23242261 -35.419922 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23216791--1.23242261) × R
    0.000254699999999941 × 6371000     		dl = 1622.69369999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23216791--1.23242261) × R
    0.000254699999999941 × 6371000     		dr = 1622.69369999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61896125--0.61819426) × cos(-1.23216791) × R
    0.000766990000000023 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 1623.26234660236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61896125--0.61819426) × cos(-1.23242261) × R
    0.000766990000000023 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 1622.08838290548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23216791)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.331953465734817)×R²
    abs(-0.61819426--0.61896125)×0.000240246660993426×R²
    0.000766990000000023×0.000240246660993426×6371000²
    0.000766990000000023×0.000240246660993426×40589641000000     		ar = 2633105.10576586m²