Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32864 / 38240
↖ ↑ ↗
← S 28.767659°
E  0.527343°		 ← 535.46 m → S 28.767659°
E  0.532837°		 →
↑
535.42 m
↓
↑
535.42 m
↓
S 28.772474°
E  0.527343°		 ← 535.43 m →
286 688 m²		 S 28.772474°
E  0.532837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501472473144531 y=0.583503723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501472473144531 × 216)
    floor (0.501472473144531 × 65536)
    floor (32864.5)     		tx = 32864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583503723144531 × 216)
    floor (0.583503723144531 × 65536)
    floor (38240.5)     		ty = 38240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32864 / 38240 ti = "16/32864/38240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32864/38240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32864 ÷ 216
    32864 ÷ 65536     		x = 0.50146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38240 ÷ 216
    38240 ÷ 65536     		y = 0.58349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50146484375 × 2 - 1) × π
    0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58349609375 × 2 - 1) × π
    -0.1669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.524621429441894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00920388} λ = 0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524621429441894))-π/2
    2×atan(0.591779352206179)-π/2
    2×0.534352978661201-π/2
    1.0687059573224-1.57079632675     		φ = -0.50209037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50209037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.767659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32864 KachelY 38240 0.00920388 -0.50209037 0.527343 -28.767659
    Oben rechts KachelX + 1 32865 KachelY 38240 0.00929976 -0.50209037 0.532837 -28.767659
    Unten links KachelX 32864 KachelY + 1 38241 0.00920388 -0.50217441 0.527343 -28.772474
    Unten rechts KachelX + 1 32865 KachelY + 1 38241 0.00929976 -0.50217441 0.532837 -28.772474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50209037--0.50217441) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dl = 535.418839999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50209037--0.50217441) × R
    8.40399999999519e-05 × 6371000     		dr = 535.418839999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(-0.50209037) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.876578468494909 × 6371000     		do = 535.459254816256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00920388-0.00929976) × cos(-0.50217441) × R
    9.58800000000013e-05 × 0.87653802039627 × 6371000     		du = 535.434547035339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50209037)-sin(-0.50217441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876578468494909-0.87653802039627)×R²
    abs(0.00929976-0.00920388)×4.04480986393452e-05×R²
    9.58800000000013e-05×4.04480986393452e-05×6371000²
    9.58800000000013e-05×4.04480986393452e-05×40589641000000     		ar = 286688.358743721m²