Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32863 / 32871
↖ ↑ ↗
← S  0.565787°
E  0.521851°		 ← 610.76 m → S  0.565787°
E  0.527343°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.571280°
E  0.521851°		 ← 610.76 m →
373 043 m²		 S  0.571280°
E  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501457214355469 y=0.501579284667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501457214355469 × 216)
    floor (0.501457214355469 × 65536)
    floor (32863.5)     		tx = 32863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501579284667969 × 216)
    floor (0.501579284667969 × 65536)
    floor (32871.5)     		ty = 32871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32863 / 32871 ti = "16/32863/32871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32863/32871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32863 ÷ 216
    32863 ÷ 65536     		x = 0.501449584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32871 ÷ 216
    32871 ÷ 65536     		y = 0.501571655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501449584960938 × 2 - 1) × π
    0.002899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00910801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501571655273438 × 2 - 1) × π
    -0.003143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00987500132173157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00910801} λ = 0.00910801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00987500132173157))-π/2
    2×atan(0.99017359640473)-π/2
    2×0.780460742981891-π/2
    1.56092148596378-1.57079632675     		φ = -0.00987484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00910801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.521851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00987484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.565787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32863 KachelY 32871 0.00910801 -0.00987484 0.521851 -0.565787
    Oben rechts KachelX + 1 32864 KachelY 32871 0.00920388 -0.00987484 0.527343 -0.565787
    Unten links KachelX 32863 KachelY + 1 32872 0.00910801 -0.00997071 0.521851 -0.571280
    Unten rechts KachelX + 1 32864 KachelY + 1 32872 0.00920388 -0.00997071 0.527343 -0.571280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00987484--0.00997071) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dl = 610.787770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00987484--0.00997071) × R
    9.58700000000014e-05 × 6371000     		dr = 610.787770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00910801-0.00920388) × cos(-0.00987484) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999951244163681 × 6371000     		do = 610.757990531458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00910801-0.00920388) × cos(-0.00997071) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999950292882853 × 6371000     		du = 610.757409500762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00987484)-sin(-0.00997071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999951244163681-0.999950292882853)×R²
    abs(0.00920388-0.00910801)×9.51280827998779e-07×R²
    9.58699999999996e-05×9.51280827998779e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×9.51280827998779e-07×40589641000000     		ar = 373043.333888899m²