Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32862 / 32870
↖ ↑ ↗
← S  0.560294°
E  0.516358°		 ← 610.76 m → S  0.560294°
E  0.521851°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.565787°
E  0.516358°		 ← 610.76 m →
373 044 m²		 S  0.565787°
E  0.521851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501441955566406 y=0.501564025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501441955566406 × 216)
    floor (0.501441955566406 × 65536)
    floor (32862.5)     		tx = 32862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501564025878906 × 216)
    floor (0.501564025878906 × 65536)
    floor (32870.5)     		ty = 32870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32862 / 32870 ti = "16/32862/32870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32862/32870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32862 ÷ 216
    32862 ÷ 65536     		x = 0.501434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32870 ÷ 216
    32870 ÷ 65536     		y = 0.501556396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501434326171875 × 2 - 1) × π
    0.00286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00901214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501556396484375 × 2 - 1) × π
    -0.00311279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.00977912752249145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00901214} λ = 0.00901214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00977912752249145))-π/2
    2×atan(0.990268532660201)-π/2
    2×0.780508677566925-π/2
    1.56101735513385-1.57079632675     		φ = -0.00977897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00901214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.516358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00977897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.560294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32862 KachelY 32870 0.00901214 -0.00977897 0.516358 -0.560294
    Oben rechts KachelX + 1 32863 KachelY 32870 0.00910801 -0.00977897 0.521851 -0.560294
    Unten links KachelX 32862 KachelY + 1 32871 0.00901214 -0.00987484 0.516358 -0.565787
    Unten rechts KachelX + 1 32863 KachelY + 1 32871 0.00910801 -0.00987484 0.521851 -0.565787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00977897--0.00987484) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00977897--0.00987484) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00901214-0.00910801) × cos(-0.00977897) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.9999521862539 × 6371000     		do = 610.758565948642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00901214-0.00910801) × cos(-0.00987484) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.999951244163681 × 6371000     		du = 610.757990531458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00977897)-sin(-0.00987484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9999521862539-0.999951244163681)×R²
    abs(0.00910801-0.00901214)×9.42090219169245e-07×R²
    9.58699999999996e-05×9.42090219169245e-07×6371000²
    9.58699999999996e-05×9.42090219169245e-07×40589641000000     		ar = 373043.687061001m²