Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32853 / 32873
↖ ↑ ↗
← S  0.576773°
E  0.466919°		 ← 610.82 m → S  0.576773°
E  0.472412°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.582265°
E  0.466919°		 ← 610.82 m →
373 082 m²		 S  0.582265°
E  0.472412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501304626464844 y=0.501609802246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501304626464844 × 216)
    floor (0.501304626464844 × 65536)
    floor (32853.5)     		tx = 32853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501609802246094 × 216)
    floor (0.501609802246094 × 65536)
    floor (32873.5)     		ty = 32873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32853 / 32873 ti = "16/32853/32873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32853/32873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32853 ÷ 216
    32853 ÷ 65536     		x = 0.501296997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32873 ÷ 216
    32873 ÷ 65536     		y = 0.501602172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501296997070312 × 2 - 1) × π
    0.002593994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00814927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501602172851562 × 2 - 1) × π
    -0.003204345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0100667489202118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00814927} λ = 0.00814927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0100667489202118))-π/2
    2×atan(0.989983751197303)-π/2
    2×0.780364873948408-π/2
    1.56072974789682-1.57079632675     		φ = -0.01006658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00814927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.466919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01006658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.576773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32853 KachelY 32873 0.00814927 -0.01006658 0.466919 -0.576773
    Oben rechts KachelX + 1 32854 KachelY 32873 0.00824515 -0.01006658 0.472412 -0.576773
    Unten links KachelX 32853 KachelY + 1 32874 0.00814927 -0.01016245 0.466919 -0.582265
    Unten rechts KachelX + 1 32854 KachelY + 1 32874 0.00824515 -0.01016245 0.472412 -0.582265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01006658--0.01016245) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01006658--0.01016245) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00814927-0.00824515) × cos(-0.01006658) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999949332411425 × 6371000     		do = 610.820529628528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00814927-0.00824515) × cos(-0.01016245) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999948362749406 × 6371000     		du = 610.819937309049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01006658)-sin(-0.01016245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999949332411425-0.999948362749406)×R²
    abs(0.00824515-0.00814927)×9.69662019234541e-07×R²
    9.58799999999996e-05×9.69662019234541e-07×6371000²
    9.58799999999996e-05×9.69662019234541e-07×40589641000000     		ar = 373081.528557028m²