Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32846 / 16082
↖ ↑ ↗
← N 67.165692°
E  0.428467°		 ← 237.03 m → N 67.165692°
E  0.433960°		 →
↑
237.06 m
↓
↑
237.06 m
↓
N 67.163560°
E  0.428467°		 ← 237.05 m →
56 193 m²		 N 67.163560°
E  0.433960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501197814941406 y=0.245399475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501197814941406 × 216)
    floor (0.501197814941406 × 65536)
    floor (32846.5)     		tx = 32846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245399475097656 × 216)
    floor (0.245399475097656 × 65536)
    floor (16082.5)     		ty = 16082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32846 / 16082 ti = "16/32846/16082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32846/16082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32846 ÷ 216
    32846 ÷ 65536     		x = 0.501190185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16082 ÷ 216
    16082 ÷ 65536     		y = 0.245391845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501190185546875 × 2 - 1) × π
    0.00238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00747816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245391845703125 × 2 - 1) × π
    0.50921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59975021412051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00747816} λ = 0.00747816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59975021412051))-π/2
    2×atan(4.95179538133924)-π/2
    2×1.37152939749723-π/2
    2.74305879499445-1.57079632675     		φ = 1.17226247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00747816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.428467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17226247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.165692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32846 KachelY 16082 0.00747816 1.17226247 0.428467 67.165692
    Oben rechts KachelX + 1 32847 KachelY 16082 0.00757403 1.17226247 0.433960 67.165692
    Unten links KachelX 32846 KachelY + 1 16083 0.00747816 1.17222526 0.428467 67.163560
    Unten rechts KachelX + 1 32847 KachelY + 1 16083 0.00757403 1.17222526 0.433960 67.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17226247-1.17222526) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dl = 237.064909999355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17226247-1.17222526) × R
    3.72099999998987e-05 × 6371000     		dr = 237.064909999355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00747816-0.00757403) × cos(1.17226247) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.388067516932541 × 6371000     		do = 237.026893276663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00747816-0.00757403) × cos(1.17222526) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.388101810551412 × 6371000     		du = 237.047839399658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17226247)-sin(1.17222526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388067516932541-0.388101810551412)×R²
    abs(0.00757403-0.00747816)×3.42936188704179e-05×R²
    9.58699999999996e-05×3.42936188704179e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.42936188704179e-05×40589641000000     		ar = 56193.2419236531m²