Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32834 / 16068
↖ ↑ ↗
← N 67.195517°
E  0.362549°		 ← 236.73 m → N 67.195517°
E  0.368042°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
N 67.193388°
E  0.362549°		 ← 236.75 m →
56 048 m²		 N 67.193388°
E  0.368042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501014709472656 y=0.245185852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501014709472656 × 216)
    floor (0.501014709472656 × 65536)
    floor (32834.5)     		tx = 32834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245185852050781 × 216)
    floor (0.245185852050781 × 65536)
    floor (16068.5)     		ty = 16068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32834 / 16068 ti = "16/32834/16068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32834/16068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32834 ÷ 216
    32834 ÷ 65536     		x = 0.501007080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16068 ÷ 216
    16068 ÷ 65536     		y = 0.24517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501007080078125 × 2 - 1) × π
    0.00201416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00632767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24517822265625 × 2 - 1) × π
    0.5096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60109244730988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00632767} λ = 0.00632767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60109244730988))-π/2
    2×atan(4.95844630799573)-π/2
    2×1.37178967501653-π/2
    2.74357935003305-1.57079632675     		φ = 1.17278302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00632767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.362549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17278302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.195517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32834 KachelY 16068 0.00632767 1.17278302 0.362549 67.195517
    Oben rechts KachelX + 1 32835 KachelY 16068 0.00642354 1.17278302 0.368042 67.195517
    Unten links KachelX 32834 KachelY + 1 16069 0.00632767 1.17274586 0.362549 67.193388
    Unten rechts KachelX + 1 32835 KachelY + 1 16069 0.00642354 1.17274586 0.368042 67.193388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17278302-1.17274586) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17278302-1.17274586) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00632767-0.00642354) × cos(1.17278302) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.387587709387021 × 6371000     		do = 236.733832695908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00632767-0.00642354) × cos(1.17274586) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.387621964427394 × 6371000     		du = 236.754755255629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17278302)-sin(1.17274586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387587709387021-0.387621964427394)×R²
    abs(0.00642354-0.00632767)×3.42550403731323e-05×R²
    9.58700000000005e-05×3.42550403731323e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×3.42550403731323e-05×40589641000000     		ar = 56048.3498563114m²