Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32833 / 16065
↖ ↑ ↗
← N 67.201904°
E  0.357056°		 ← 236.67 m → N 67.201904°
E  0.362549°		 →
↑
236.68 m
↓
↑
236.68 m
↓
N 67.199776°
E  0.357056°		 ← 236.69 m →
56 018 m²		 N 67.199776°
E  0.362549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500999450683594 y=0.245140075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500999450683594 × 216)
    floor (0.500999450683594 × 65536)
    floor (32833.5)     		tx = 32833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245140075683594 × 216)
    floor (0.245140075683594 × 65536)
    floor (16065.5)     		ty = 16065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32833 / 16065 ti = "16/32833/16065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32833/16065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32833 ÷ 216
    32833 ÷ 65536     		x = 0.500991821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16065 ÷ 216
    16065 ÷ 65536     		y = 0.245132446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500991821289062 × 2 - 1) × π
    0.001983642578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00623180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245132446289062 × 2 - 1) × π
    0.509735107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6013800687076
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00623180} λ = 0.00623180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6013800687076))-π/2
    2×atan(4.95987266836941)-π/2
    2×1.37184540688667-π/2
    2.74369081377334-1.57079632675     		φ = 1.17289449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00623180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.357056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17289449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.201904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32833 KachelY 16065 0.00623180 1.17289449 0.357056 67.201904
    Oben rechts KachelX + 1 32834 KachelY 16065 0.00632767 1.17289449 0.362549 67.201904
    Unten links KachelX 32833 KachelY + 1 16066 0.00623180 1.17285734 0.357056 67.199776
    Unten rechts KachelX + 1 32834 KachelY + 1 16066 0.00632767 1.17285734 0.362549 67.199776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17289449-1.17285734) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dl = 236.682650000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17289449-1.17285734) × R
    3.71500000000413e-05 × 6371000     		dr = 236.682650000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(1.17289449) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.387484950273612 × 6371000     		do = 236.671068686179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00623180-0.00632767) × cos(1.17285734) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.387519197700703 × 6371000     		du = 236.6919865958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17289449)-sin(1.17285734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387484950273612-0.387519197700703)×R²
    abs(0.00632767-0.00623180)×3.42474270905724e-05×R²
    9.58699999999996e-05×3.42474270905724e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.42474270905724e-05×40589641000000     		ar = 56018.4111746718m²