Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32822 / 38331
↖ ↑ ↗
← S 29.204918°
E  0.296631°		 ← 533.14 m → S 29.204918°
E  0.302124°		 →
↑
533.19 m
↓
↑
533.19 m
↓
S 29.209713°
E  0.296631°		 ← 533.12 m →
284 260 m²		 S 29.209713°
E  0.302124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500831604003906 y=0.584892272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500831604003906 × 216)
    floor (0.500831604003906 × 65536)
    floor (32822.5)     		tx = 32822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584892272949219 × 216)
    floor (0.584892272949219 × 65536)
    floor (38331.5)     		ty = 38331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32822 / 38331 ti = "16/32822/38331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32822/38331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32822 ÷ 216
    32822 ÷ 65536     		x = 0.500823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38331 ÷ 216
    38331 ÷ 65536     		y = 0.584884643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500823974609375 × 2 - 1) × π
    0.00164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00517719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584884643554688 × 2 - 1) × π
    -0.169769287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.533345945172745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00517719} λ = 0.00517719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533345945172745))-π/2
    2×atan(0.586638820868775)-π/2
    2×0.530537170918253-π/2
    1.06107434183651-1.57079632675     		φ = -0.50972198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00517719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.296631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50972198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.204918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32822 KachelY 38331 0.00517719 -0.50972198 0.296631 -29.204918
    Oben rechts KachelX + 1 32823 KachelY 38331 0.00527306 -0.50972198 0.302124 -29.204918
    Unten links KachelX 32822 KachelY + 1 38332 0.00517719 -0.50980567 0.296631 -29.209713
    Unten rechts KachelX + 1 32823 KachelY + 1 38332 0.00527306 -0.50980567 0.302124 -29.209713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50972198--0.50980567) × R
    8.36899999999696e-05 × 6371000     		dl = 533.188989999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50972198--0.50980567) × R
    8.36899999999696e-05 × 6371000     		dr = 533.188989999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00517719-0.00527306) × cos(-0.50972198) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.872880196952736 × 6371000     		do = 533.144548973925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00517719-0.00527306) × cos(-0.50980567) × R
    9.58700000000005e-05 × 0.872839358650314 × 6371000     		du = 533.119605438258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50972198)-sin(-0.50980567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872880196952736-0.872839358650314)×R²
    abs(0.00527306-0.00517719)×4.08383024212977e-05×R²
    9.58700000000005e-05×4.08383024212977e-05×6371000²
    9.58700000000005e-05×4.08383024212977e-05×40589641000000     		ar = 284260.153947765m²