Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3281 / 1681
↖ ↑ ↗
← N 30.675715°
E108.369141°		 ← 8 405.44 m → N 30.675715°
E108.457031°		 →
↑
8 408.70 m
↓
↑
8 408.70 m
↓
N 30.600094°
E108.369141°		 ← 8 412.01 m →
70 706 465 m²		 N 30.600094°
E108.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8011474609375 y=0.4105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8011474609375 × 212)
    floor (0.8011474609375 × 4096)
    floor (3281.5)     		tx = 3281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4105224609375 × 212)
    floor (0.4105224609375 × 4096)
    floor (1681.5)     		ty = 1681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3281 / 1681 ti = "12/3281/1681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3281/1681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3281 ÷ 212
    3281 ÷ 4096     		x = 0.801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1681 ÷ 212
    1681 ÷ 4096     		y = 0.410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    0.60205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89139831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410400390625 × 2 - 1) × π
    0.17919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.562970949137939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89139831} λ = 1.89139831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.562970949137939))-π/2
    2×atan(1.75588139309809)-π/2
    2×1.05309428049426-π/2
    2.10618856098853-1.57079632675     		φ = 0.53539223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89139831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.369141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53539223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.675715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3281 KachelY 1681 1.89139831 0.53539223 108.369141 30.675715
    Oben rechts KachelX + 1 3282 KachelY 1681 1.89293229 0.53539223 108.457031 30.675715
    Unten links KachelX 3281 KachelY + 1 1682 1.89139831 0.53407239 108.369141 30.600094
    Unten rechts KachelX + 1 3282 KachelY + 1 1682 1.89293229 0.53407239 108.457031 30.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53539223-0.53407239) × R
    0.00131984000000007 × 6371000     		dl = 8408.70064000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53539223-0.53407239) × R
    0.00131984000000007 × 6371000     		dr = 8408.70064000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89139831-1.89293229) × cos(0.53539223) × R
    0.00153398000000005 × 0.860068588155245 × 6371000     		do = 8405.43876992101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89139831-1.89293229) × cos(0.53407239) × R
    0.00153398000000005 × 0.860741192740037 × 6371000     		du = 8412.01212550182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53539223)-sin(0.53407239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860068588155245-0.860741192740037)×R²
    abs(1.89293229-1.89139831)×0.000672604584791681×R²
    0.00153398000000005×0.000672604584791681×6371000²
    0.00153398000000005×0.000672604584791681×40589641000000     		ar = 70706465.3178486m²