Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32807 / 32888
↖ ↑ ↗
← S  0.659165°
E  0.214234°		 ← 610.75 m → S  0.659165°
E  0.219726°		 →
↑
610.79 m
↓
↑
610.79 m
↓
S  0.664658°
E  0.214234°		 ← 610.75 m →
373 037 m²		 S  0.664658°
E  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500602722167969 y=0.501838684082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500602722167969 × 216)
    floor (0.500602722167969 × 65536)
    floor (32807.5)     		tx = 32807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501838684082031 × 216)
    floor (0.501838684082031 × 65536)
    floor (32888.5)     		ty = 32888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32807 / 32888 ti = "16/32807/32888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32807/32888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32807 ÷ 216
    32807 ÷ 65536     		x = 0.500595092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32888 ÷ 216
    32888 ÷ 65536     		y = 0.5018310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500595092773438 × 2 - 1) × π
    0.001190185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00373908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0115048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00373908} λ = 0.00373908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0115048559088135))-π/2
    2×atan(0.988561071873836)-π/2
    2×0.779645862339042-π/2
    1.55929172467808-1.57079632675     		φ = -0.01150460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00373908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.214234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01150460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.659165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32807 KachelY 32888 0.00373908 -0.01150460 0.214234 -0.659165
    Oben rechts KachelX + 1 32808 KachelY 32888 0.00383495 -0.01150460 0.219726 -0.659165
    Unten links KachelX 32807 KachelY + 1 32889 0.00373908 -0.01160047 0.214234 -0.664658
    Unten rechts KachelX + 1 32808 KachelY + 1 32889 0.00383495 -0.01160047 0.219726 -0.664658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01150460--0.01160047) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dl = 610.787769999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01150460--0.01160047) × R
    9.58699999999996e-05 × 6371000     		dr = 610.787769999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00373908-0.00383495) × cos(-0.01150460) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999933822819336 × 6371000     		do = 610.747349787398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00373908-0.00383495) × cos(-0.01160047) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.999932715302442 × 6371000     		du = 610.746673329624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01150460)-sin(-0.01160047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999933822819336-0.999932715302442)×R²
    abs(0.00383495-0.00373908)×1.10751689452737e-06×R²
    9.58700000000001e-05×1.10751689452737e-06×6371000²
    9.58700000000001e-05×1.10751689452737e-06×40589641000000     		ar = 373036.805509702m²