Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32805 / 38307
↖ ↑ ↗
← S 29.089777°
E  0.203247°		 ← 533.74 m → S 29.089777°
E  0.208740°		 →
↑
533.70 m
↓
↑
533.70 m
↓
S 29.094577°
E  0.203247°		 ← 533.72 m →
284 851 m²		 S 29.094577°
E  0.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500572204589844 y=0.584526062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500572204589844 × 216)
    floor (0.500572204589844 × 65536)
    floor (32805.5)     		tx = 32805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584526062011719 × 216)
    floor (0.584526062011719 × 65536)
    floor (38307.5)     		ty = 38307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32805 / 38307 ti = "16/32805/38307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32805/38307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32805 ÷ 216
    32805 ÷ 65536     		x = 0.500564575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38307 ÷ 216
    38307 ÷ 65536     		y = 0.584518432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500564575195312 × 2 - 1) × π
    0.001129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.00354733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584518432617188 × 2 - 1) × π
    -0.169036865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531044973990982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00354733} λ = 0.00354733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531044973990982))-π/2
    2×atan(0.58799021405184)-π/2
    2×0.531541970279235-π/2
    1.06308394055847-1.57079632675     		φ = -0.50771239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00354733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.203247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50771239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.089777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32805 KachelY 38307 0.00354733 -0.50771239 0.203247 -29.089777
    Oben rechts KachelX + 1 32806 KachelY 38307 0.00364320 -0.50771239 0.208740 -29.089777
    Unten links KachelX 32805 KachelY + 1 38308 0.00354733 -0.50779616 0.203247 -29.094577
    Unten rechts KachelX + 1 32806 KachelY + 1 38308 0.00364320 -0.50779616 0.208740 -29.094577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50771239--0.50779616) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dl = 533.698670000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50771239--0.50779616) × R
    8.37700000000385e-05 × 6371000     		dr = 533.698670000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00354733-0.00364320) × cos(-0.50771239) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.873858982218849 × 6371000     		do = 533.742379043921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00354733-0.00364320) × cos(-0.50779616) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.873818251898395 × 6371000     		du = 533.717501462319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50771239)-sin(-0.50779616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873858982218849-0.873818251898395)×R²
    abs(0.00364320-0.00354733)×4.0730320453819e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.0730320453819e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.0730320453819e-05×40589641000000     		ar = 284850.959418899m²