Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32792 / 38216
↖ ↑ ↗
← S 28.652031°
E  0.131836°		 ← 536 m → S 28.652031°
E  0.137329°		 →
↑
535.99 m
↓
↑
535.99 m
↓
S 28.656851°
E  0.131836°		 ← 535.97 m →
287 283 m²		 S 28.656851°
E  0.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500373840332031 y=0.583137512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500373840332031 × 216)
    floor (0.500373840332031 × 65536)
    floor (32792.5)     		tx = 32792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583137512207031 × 216)
    floor (0.583137512207031 × 65536)
    floor (38216.5)     		ty = 38216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32792 / 38216 ti = "16/32792/38216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32792/38216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32792 ÷ 216
    32792 ÷ 65536     		x = 0.5003662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38216 ÷ 216
    38216 ÷ 65536     		y = 0.5831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5003662109375 × 2 - 1) × π
    0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5831298828125 × 2 - 1) × π
    -0.166259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.522320458260132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00230097} λ = 0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522320458260132))-π/2
    2×atan(0.593142587222344)-π/2
    2×0.535362027462955-π/2
    1.07072405492591-1.57079632675     		φ = -0.50007227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50007227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.652031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32792 KachelY 38216 0.00230097 -0.50007227 0.131836 -28.652031
    Oben rechts KachelX + 1 32793 KachelY 38216 0.00239684 -0.50007227 0.137329 -28.652031
    Unten links KachelX 32792 KachelY + 1 38217 0.00230097 -0.50015640 0.131836 -28.656851
    Unten rechts KachelX + 1 32793 KachelY + 1 38217 0.00239684 -0.50015640 0.137329 -28.656851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50007227--0.50015640) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dl = 535.992229999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50007227--0.50015640) × R
    8.41299999999601e-05 × 6371000     		dr = 535.992229999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00230097-0.00239684) × cos(-0.50007227) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.877547911514942 × 6371000     		do = 535.995531942369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00230097-0.00239684) × cos(-0.50015640) × R
    9.58700000000001e-05 × 0.877507569003185 × 6371000     		du = 535.970891229577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50007227)-sin(-0.50015640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877547911514942-0.877507569003185)×R²
    abs(0.00239684-0.00230097)×4.03425117568856e-05×R²
    9.58700000000001e-05×4.03425117568856e-05×6371000²
    9.58700000000001e-05×4.03425117568856e-05×40589641000000     		ar = 287282.83698991m²