Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32787 / 38294
↖ ↑ ↗
← S 29.027355°
E  0.104370°		 ← 534.12 m → S 29.027355°
E  0.109864°		 →
↑
534.08 m
↓
↑
534.08 m
↓
S 29.032158°
E  0.104370°		 ← 534.10 m →
285 257 m²		 S 29.032158°
E  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500297546386719 y=0.584327697753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500297546386719 × 216)
    floor (0.500297546386719 × 65536)
    floor (32787.5)     		tx = 32787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584327697753906 × 216)
    floor (0.584327697753906 × 65536)
    floor (38294.5)     		ty = 38294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32787 / 38294 ti = "16/32787/38294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32787/38294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32787 ÷ 216
    32787 ÷ 65536     		x = 0.500289916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38294 ÷ 216
    38294 ÷ 65536     		y = 0.584320068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500289916992188 × 2 - 1) × π
    0.000579833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00182160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584320068359375 × 2 - 1) × π
    -0.16864013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529798614600861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00182160} λ = 0.00182160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529798614600861))-π/2
    2×atan(0.588723518061665)-π/2
    2×0.53208670637266-π/2
    1.06417341274532-1.57079632675     		φ = -0.50662291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00182160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.104370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50662291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.027355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32787 KachelY 38294 0.00182160 -0.50662291 0.104370 -29.027355
    Oben rechts KachelX + 1 32788 KachelY 38294 0.00191748 -0.50662291 0.109864 -29.027355
    Unten links KachelX 32787 KachelY + 1 38295 0.00182160 -0.50670674 0.104370 -29.032158
    Unten rechts KachelX + 1 32788 KachelY + 1 38295 0.00191748 -0.50670674 0.109864 -29.032158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50662291--0.50670674) × R
    8.3830000000007e-05 × 6371000     		dl = 534.080930000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50662291--0.50670674) × R
    8.3830000000007e-05 × 6371000     		dr = 534.080930000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00182160-0.00191748) × cos(-0.50662291) × R
    9.588e-05 × 0.874388146304751 × 6371000     		do = 534.121293264713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00182160-0.00191748) × cos(-0.50670674) × R
    9.588e-05 × 0.874347466641957 × 6371000     		du = 534.09644403249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50662291)-sin(-0.50670674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874388146304751-0.874347466641957)×R²
    abs(0.00191748-0.00182160)×4.06796627933081e-05×R²
    9.588e-05×4.06796627933081e-05×6371000²
    9.588e-05×4.06796627933081e-05×40589641000000     		ar = 285257.361456335m²