Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32782 / 38206
↖ ↑ ↗
← S 28.603814°
E  0.076904°		 ← 536.30 m → S 28.603814°
E  0.082398°		 →
↑
536.25 m
↓
↑
536.25 m
↓
S 28.608637°
E  0.076904°		 ← 536.27 m →
287 581 m²		 S 28.608637°
E  0.082398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500221252441406 y=0.582984924316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500221252441406 × 216)
    floor (0.500221252441406 × 65536)
    floor (32782.5)     		tx = 32782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582984924316406 × 216)
    floor (0.582984924316406 × 65536)
    floor (38206.5)     		ty = 38206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32782 / 38206 ti = "16/32782/38206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32782/38206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32782 ÷ 216
    32782 ÷ 65536     		x = 0.500213623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38206 ÷ 216
    38206 ÷ 65536     		y = 0.582977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500213623046875 × 2 - 1) × π
    0.00042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00134223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582977294921875 × 2 - 1) × π
    -0.16595458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.521361720267731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00134223} λ = 0.00134223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521361720267731))-π/2
    2×atan(0.593711528244732)-π/2
    2×0.535782793380878-π/2
    1.07156558676176-1.57079632675     		φ = -0.49923074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00134223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49923074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.603814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32782 KachelY 38206 0.00134223 -0.49923074 0.076904 -28.603814
    Oben rechts KachelX + 1 32783 KachelY 38206 0.00143811 -0.49923074 0.082398 -28.603814
    Unten links KachelX 32782 KachelY + 1 38207 0.00134223 -0.49931491 0.076904 -28.608637
    Unten rechts KachelX + 1 32783 KachelY + 1 38207 0.00143811 -0.49931491 0.082398 -28.608637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49923074--0.49931491) × R
    8.41699999999945e-05 × 6371000     		dl = 536.247069999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49923074--0.49931491) × R
    8.41699999999945e-05 × 6371000     		dr = 536.247069999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00134223-0.00143811) × cos(-0.49923074) × R
    9.588e-05 × 0.877951105084294 × 6371000     		do = 536.297731908377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00134223-0.00143811) × cos(-0.49931491) × R
    9.588e-05 × 0.877910805560985 × 6371000     		du = 536.27311488492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49923074)-sin(-0.49931491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877951105084294-0.877910805560985)×R²
    abs(0.00143811-0.00134223)×4.02995233091952e-05×R²
    9.588e-05×4.02995233091952e-05×6371000²
    9.588e-05×4.02995233091952e-05×40589641000000     		ar = 287581.487149931m²