Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3276 / 3053
↖ ↑ ↗
← S 65.838776°
E107.929688°		 ← 4 000.14 m → S 65.838776°
E108.017578°		 →
↑
3 997.36 m
↓
↑
3 997.36 m
↓
S 65.874725°
E107.929688°		 ← 3 994.54 m →
15 978 797 m²		 S 65.874725°
E108.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7999267578125 y=0.7454833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7999267578125 × 212)
    floor (0.7999267578125 × 4096)
    floor (3276.5)     		tx = 3276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7454833984375 × 212)
    floor (0.7454833984375 × 4096)
    floor (3053.5)     		ty = 3053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3276 / 3053 ti = "12/3276/3053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3276/3053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3276 ÷ 212
    3276 ÷ 4096     		x = 0.7998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3053 ÷ 212
    3053 ÷ 4096     		y = 0.745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7998046875 × 2 - 1) × π
    0.599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88372841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.49072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54165069178101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88372841} λ = 1.88372841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54165069178101))-π/2
    2×atan(0.214027516215238)-π/2
    2×0.210846457622829-π/2
    0.421692915245659-1.57079632675     		φ = -1.14910341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88372841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.929688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14910341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.838776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3276 KachelY 3053 1.88372841 -1.14910341 107.929688 -65.838776
    Oben rechts KachelX + 1 3277 KachelY 3053 1.88526239 -1.14910341 108.017578 -65.838776
    Unten links KachelX 3276 KachelY + 1 3054 1.88372841 -1.14973084 107.929688 -65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 3277 KachelY + 1 3054 1.88526239 -1.14973084 108.017578 -65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14910341--1.14973084) × R
    0.000627429999999984 × 6371000     		dl = 3997.3565299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14910341--1.14973084) × R
    0.000627429999999984 × 6371000     		dr = 3997.3565299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88372841-1.88526239) × cos(-1.14910341) × R
    0.00153398000000005 × 0.409305651609581 × 6371000     		do = 4000.13864029871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88372841-1.88526239) × cos(-1.14973084) × R
    0.00153398000000005 × 0.408733105626485 × 6371000     		du = 3994.54315608948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14910341)-sin(-1.14973084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409305651609581-0.408733105626485)×R²
    abs(1.88526239-1.88372841)×0.000572545983095807×R²
    0.00153398000000005×0.000572545983095807×6371000²
    0.00153398000000005×0.000572545983095807×40589641000000     		ar = 15978797.2662326m²