Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3274 / 3078
↖ ↑ ↗
← S 66.722541°
E107.753906°		 ← 3 862.13 m → S 66.722541°
E107.841797°		 →
↑
3 859.42 m
↓
↑
3 859.42 m
↓
S 66.757250°
E107.753906°		 ← 3 856.69 m →
14 895 100 m²		 S 66.757250°
E107.841797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7994384765625 y=0.7515869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7994384765625 × 212)
    floor (0.7994384765625 × 4096)
    floor (3274.5)     		tx = 3274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7515869140625 × 212)
    floor (0.7515869140625 × 4096)
    floor (3078.5)     		ty = 3078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3274 / 3078 ti = "12/3274/3078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3274/3078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3274 ÷ 212
    3274 ÷ 4096     		x = 0.79931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3078 ÷ 212
    3078 ÷ 4096     		y = 0.75146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79931640625 × 2 - 1) × π
    0.5986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88066045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75146484375 × 2 - 1) × π
    -0.5029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88066045} λ = 1.88066045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58000021147705))-π/2
    2×atan(0.205975054645882)-π/2
    2×0.203134147716771-π/2
    0.406268295433542-1.57079632675     		φ = -1.16452803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88066045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.753906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16452803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.722541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3274 KachelY 3078 1.88066045 -1.16452803 107.753906 -66.722541
    Oben rechts KachelX + 1 3275 KachelY 3078 1.88219443 -1.16452803 107.841797 -66.722541
    Unten links KachelX 3274 KachelY + 1 3079 1.88066045 -1.16513381 107.753906 -66.757250
    Unten rechts KachelX + 1 3275 KachelY + 1 3079 1.88219443 -1.16513381 107.841797 -66.757250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16452803--1.16513381) × R
    0.000605779999999889 × 6371000     		dl = 3859.42437999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16452803--1.16513381) × R
    0.000605779999999889 × 6371000     		dr = 3859.42437999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88066045-1.88219443) × cos(-1.16452803) × R
    0.00153398000000005 × 0.395184137778101 × 6371000     		do = 3862.12927513437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88066045-1.88219443) × cos(-1.16513381) × R
    0.00153398000000005 × 0.394627594627558 × 6371000     		du = 3856.69018639292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16452803)-sin(-1.16513381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395184137778101-0.394627594627558)×R²
    abs(1.88219443-1.88066045)×0.000556543150543487×R²
    0.00153398000000005×0.000556543150543487×6371000²
    0.00153398000000005×0.000556543150543487×40589641000000     		ar = 14895100.4628192m²