Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32737 / 16095
↖ ↑ ↗
← N 67.137964°
W  0.170288°		 ← 237.32 m → N 67.137964°
W  0.164795°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
N 67.135829°
W  0.170288°		 ← 237.35 m →
56 324 m²		 N 67.135829°
W  0.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499534606933594 y=0.245597839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499534606933594 × 216)
    floor (0.499534606933594 × 65536)
    floor (32737.5)     		tx = 32737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245597839355469 × 216)
    floor (0.245597839355469 × 65536)
    floor (16095.5)     		ty = 16095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32737 / 16095 ti = "16/32737/16095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32737/16095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32737 ÷ 216
    32737 ÷ 65536     		x = 0.499526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16095 ÷ 216
    16095 ÷ 65536     		y = 0.245590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245590209960938 × 2 - 1) × π
    0.508819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59850385473039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00297209} λ = -0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59850385473039))-π/2
    2×atan(4.94562750915889)-π/2
    2×1.37128742275919-π/2
    2.74257484551838-1.57079632675     		φ = 1.17177852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17177852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.137964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32737 KachelY 16095 -0.00297209 1.17177852 -0.170288 67.137964
    Oben rechts KachelX + 1 32738 KachelY 16095 -0.00287621 1.17177852 -0.164795 67.137964
    Unten links KachelX 32737 KachelY + 1 16096 -0.00297209 1.17174127 -0.170288 67.135829
    Unten rechts KachelX + 1 32738 KachelY + 1 16096 -0.00287621 1.17174127 -0.164795 67.135829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17177852-1.17174127) × R
    3.72499999998777e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17177852-1.17174127) × R
    3.72499999998777e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(1.17177852) × R
    9.588e-05 × 0.388513494767708 × 6371000     		do = 237.324043278826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(1.17174127) × R
    9.588e-05 × 0.388547818251162 × 6371000     		du = 237.345009829493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17177852)-sin(1.17174127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388513494767708-0.388547818251162)×R²
    abs(-0.00287621--0.00297209)×3.43234834545014e-05×R²
    9.588e-05×3.43234834545014e-05×6371000²
    9.588e-05×3.43234834545014e-05×40589641000000     		ar = 56324.1705142921m²