Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32737 / 15966
↖ ↑ ↗
← N 67.411707°
W  0.170288°		 ← 234.63 m → N 67.411707°
W  0.164795°		 →
↑
234.64 m
↓
↑
234.64 m
↓
N 67.409597°
W  0.170288°		 ← 234.65 m →
55 057 m²		 N 67.409597°
W  0.164795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499534606933594 y=0.243629455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499534606933594 × 216)
    floor (0.499534606933594 × 65536)
    floor (32737.5)     		tx = 32737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243629455566406 × 216)
    floor (0.243629455566406 × 65536)
    floor (15966.5)     		ty = 15966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32737 / 15966 ti = "16/32737/15966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32737/15966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32737 ÷ 216
    32737 ÷ 65536     		x = 0.499526977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15966 ÷ 216
    15966 ÷ 65536     		y = 0.243621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499526977539062 × 2 - 1) × π
    -0.000946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00297209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243621826171875 × 2 - 1) × π
    0.51275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.61087157483237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00297209} λ = -0.00297209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61087157483237))-π/2
    2×atan(5.0071734529175)-π/2
    2×1.373676288888-π/2
    2.747352577776-1.57079632675     		φ = 1.17655625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00297209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.170288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17655625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.411707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32737 KachelY 15966 -0.00297209 1.17655625 -0.170288 67.411707
    Oben rechts KachelX + 1 32738 KachelY 15966 -0.00287621 1.17655625 -0.164795 67.411707
    Unten links KachelX 32737 KachelY + 1 15967 -0.00297209 1.17651942 -0.170288 67.409597
    Unten rechts KachelX + 1 32738 KachelY + 1 15967 -0.00287621 1.17651942 -0.164795 67.409597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17655625-1.17651942) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dl = 234.643929999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17655625-1.17651942) × R
    3.68299999999877e-05 × 6371000     		dr = 234.643929999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(1.17655625) × R
    9.588e-05 × 0.384106671258122 × 6371000     		do = 234.632128615897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00297209--0.00287621) × cos(1.17651942) × R
    9.588e-05 × 0.384140675721253 × 6371000     		du = 234.652900292527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17655625)-sin(1.17651942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384106671258122-0.384140675721253)×R²
    abs(-0.00287621--0.00297209)×3.40044631313985e-05×R²
    9.588e-05×3.40044631313985e-05×6371000²
    9.588e-05×3.40044631313985e-05×40589641000000     		ar = 55057.4417428901m²