Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3273 / 1642
↖ ↑ ↗
← N 33.578015°
E107.666016°		 ← 8 142.20 m → N 33.578015°
E107.753906°		 →
↑
8 145.64 m
↓
↑
8 145.64 m
↓
N 33.504759°
E107.666016°		 ← 8 149.11 m →
66 351 598 m²		 N 33.504759°
E107.753906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7991943359375 y=0.4010009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7991943359375 × 212)
    floor (0.7991943359375 × 4096)
    floor (3273.5)     		tx = 3273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4010009765625 × 212)
    floor (0.4010009765625 × 4096)
    floor (1642.5)     		ty = 1642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3273 / 1642 ti = "12/3273/1642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3273/1642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3273 ÷ 212
    3273 ÷ 4096     		x = 0.799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1642 ÷ 212
    1642 ÷ 4096     		y = 0.40087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799072265625 × 2 - 1) × π
    0.59814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.87912647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40087890625 × 2 - 1) × π
    0.1982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.62279619986377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87912647} λ = 1.87912647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62279619986377))-π/2
    2×atan(1.86413325019363)-π/2
    2×1.07842162019174-π/2
    2.15684324038349-1.57079632675     		φ = 0.58604691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87912647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58604691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.578015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3273 KachelY 1642 1.87912647 0.58604691 107.666016 33.578015
    Oben rechts KachelX + 1 3274 KachelY 1642 1.88066045 0.58604691 107.753906 33.578015
    Unten links KachelX 3273 KachelY + 1 1643 1.87912647 0.58476836 107.666016 33.504759
    Unten rechts KachelX + 1 3274 KachelY + 1 1643 1.88066045 0.58476836 107.753906 33.504759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58604691-0.58476836) × R
    0.00127854999999999 × 6371000     		dl = 8145.64204999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58604691-0.58476836) × R
    0.00127854999999999 × 6371000     		dr = 8145.64204999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87912647-1.88066045) × cos(0.58604691) × R
    0.00153397999999982 × 0.833133526054537 × 6371000     		do = 8142.20276947814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87912647-1.88066045) × cos(0.58476836) × R
    0.00153397999999982 × 0.833839974983535 × 6371000     		du = 8149.10688538068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58604691)-sin(0.58476836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833133526054537-0.833839974983535)×R²
    abs(1.88066045-1.87912647)×0.000706448928997294×R²
    0.00153397999999982×0.000706448928997294×6371000²
    0.00153397999999982×0.000706448928997294×40589641000000     		ar = 66351597.5257866m²