Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3272 / 1639
↖ ↑ ↗
← N 33.797409°
E107.578125°		 ← 8 121.50 m → N 33.797409°
E107.666016°		 →
↑
8 124.87 m
↓
↑
8 124.87 m
↓
N 33.724340°
E107.578125°		 ← 8 128.43 m →
66 014 290 m²		 N 33.724340°
E107.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7989501953125 y=0.4002685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7989501953125 × 212)
    floor (0.7989501953125 × 4096)
    floor (3272.5)     		tx = 3272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4002685546875 × 212)
    floor (0.4002685546875 × 4096)
    floor (1639.5)     		ty = 1639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3272 / 1639 ti = "12/3272/1639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3272/1639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3272 ÷ 212
    3272 ÷ 4096     		x = 0.798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1639 ÷ 212
    1639 ÷ 4096     		y = 0.400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798828125 × 2 - 1) × π
    0.59765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.87759248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400146484375 × 2 - 1) × π
    0.19970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.627398142227295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87759248} λ = 1.87759248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.627398142227295))-π/2
    2×atan(1.87273165347246)-π/2
    2×1.08033619420827-π/2
    2.16067238841653-1.57079632675     		φ = 0.58987606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87759248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58987606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.797409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3272 KachelY 1639 1.87759248 0.58987606 107.578125 33.797409
    Oben rechts KachelX + 1 3273 KachelY 1639 1.87912647 0.58987606 107.666016 33.797409
    Unten links KachelX 3272 KachelY + 1 1640 1.87759248 0.58860077 107.578125 33.724340
    Unten rechts KachelX + 1 3273 KachelY + 1 1640 1.87912647 0.58860077 107.666016 33.724340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58987606-0.58860077) × R
    0.00127529000000004 × 6371000     		dl = 8124.87259000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58987606-0.58860077) × R
    0.00127529000000004 × 6371000     		dr = 8124.87259000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87759248-1.87912647) × cos(0.58987606) × R
    0.00153399000000021 × 0.831009628103076 × 6371000     		do = 8121.49888692665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87759248-1.87912647) × cos(0.58860077) × R
    0.00153399000000021 × 0.831718342454006 × 6371000     		du = 8128.42518791954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58987606)-sin(0.58860077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831009628103076-0.831718342454006)×R²
    abs(1.87912647-1.87759248)×0.00070871435093034×R²
    0.00153399000000021×0.00070871435093034×6371000²
    0.00153399000000021×0.00070871435093034×40589641000000     		ar = 66014290.2995923m²