Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32716 / 38178
↖ ↑ ↗
← S 28.468691°
W  0.285645°		 ← 536.99 m → S 28.468691°
W  0.280151°		 →
↑
536.95 m
↓
↑
536.95 m
↓
S 28.473520°
W  0.285645°		 ← 536.96 m →
288 327 m²		 S 28.473520°
W  0.280151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499214172363281 y=0.582557678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499214172363281 × 216)
    floor (0.499214172363281 × 65536)
    floor (32716.5)     		tx = 32716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582557678222656 × 216)
    floor (0.582557678222656 × 65536)
    floor (38178.5)     		ty = 38178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32716 / 38178 ti = "16/32716/38178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32716/38178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32716 ÷ 216
    32716 ÷ 65536     		x = 0.49920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38178 ÷ 216
    38178 ÷ 65536     		y = 0.582550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00498544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582550048828125 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518677253889008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00498544} λ = -0.00498544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518677253889008))-π/2
    2×atan(0.595307468045925)-π/2
    2×0.536961964967674-π/2
    1.07392392993535-1.57079632675     		φ = -0.49687240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00498544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.285645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49687240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.468691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32716 KachelY 38178 -0.00498544 -0.49687240 -0.285645 -28.468691
    Oben rechts KachelX + 1 32717 KachelY 38178 -0.00488956 -0.49687240 -0.280151 -28.468691
    Unten links KachelX 32716 KachelY + 1 38179 -0.00498544 -0.49695668 -0.285645 -28.473520
    Unten rechts KachelX + 1 32717 KachelY + 1 38179 -0.00488956 -0.49695668 -0.280151 -28.473520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49687240--0.49695668) × R
    8.42799999999921e-05 × 6371000     		dl = 536.94787999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49687240--0.49695668) × R
    8.42799999999921e-05 × 6371000     		dr = 536.94787999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00498544--0.00488956) × cos(-0.49687240) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.879077718559408 × 6371000     		do = 536.985925417035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00498544--0.00488956) × cos(-0.49695668) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.879037540975821 × 6371000     		du = 536.961382880639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49687240)-sin(-0.49695668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879077718559408-0.879037540975821)×R²
    abs(-0.00488956--0.00498544)×4.01775835863205e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.01775835863205e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.01775835863205e-05×40589641000000     		ar = 288326.865381735m²