Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3271 / 1640
↖ ↑ ↗
← N 33.724340°
E107.490234°		 ← 8 128.37 m → N 33.724340°
E107.578125°		 →
↑
8 131.88 m
↓
↑
8 131.88 m
↓
N 33.651208°
E107.490234°		 ← 8 135.29 m →
66 127 094 m²		 N 33.651208°
E107.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7987060546875 y=0.4005126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7987060546875 × 212)
    floor (0.7987060546875 × 4096)
    floor (3271.5)     		tx = 3271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4005126953125 × 212)
    floor (0.4005126953125 × 4096)
    floor (1640.5)     		ty = 1640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3271 / 1640 ti = "12/3271/1640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3271/1640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3271 ÷ 212
    3271 ÷ 4096     		x = 0.798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1640 ÷ 212
    1640 ÷ 4096     		y = 0.400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798583984375 × 2 - 1) × π
    0.59716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87605850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400390625 × 2 - 1) × π
    0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87605850} λ = 1.87605850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625864161439453))-π/2
    2×atan(1.86986112132871)-π/2
    2×1.07969854596921-π/2
    2.15939709193842-1.57079632675     		φ = 0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87605850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.490234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3271 KachelY 1640 1.87605850 0.58860077 107.490234 33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 3272 KachelY 1640 1.87759248 0.58860077 107.578125 33.724340
    Unten links KachelX 3271 KachelY + 1 1641 1.87605850 0.58732438 107.490234 33.651208
    Unten rechts KachelX + 1 3272 KachelY + 1 1641 1.87759248 0.58732438 107.578125 33.651208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58860077-0.58732438) × R
    0.00127639000000002 × 6371000     		dl = 8131.8806900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58860077-0.58732438) × R
    0.00127639000000002 × 6371000     		dr = 8131.8806900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87605850-1.87759248) × cos(0.58860077) × R
    0.00153397999999982 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 8128.37219914191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87605850-1.87759248) × cos(0.58732438) × R
    0.00153397999999982 × 0.832426313677695 × 6371000     		du = 8135.29119241005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58860077)-sin(0.58732438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.832426313677695)×R²
    abs(1.87759248-1.87605850)×0.00070797122368893×R²
    0.00153397999999982×0.00070797122368893×6371000²
    0.00153397999999982×0.00070797122368893×40589641000000     		ar = 66127094.1189104m²