Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32661 / 38438
↖ ↑ ↗
← S 29.716681°
W  0.587769°		 ← 530.52 m → S 29.716681°
W  0.582275°		 →
↑
530.45 m
↓
↑
530.45 m
↓
S 29.721452°
W  0.587769°		 ← 530.49 m →
281 406 m²		 S 29.721452°
W  0.582275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498374938964844 y=0.586524963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498374938964844 × 216)
    floor (0.498374938964844 × 65536)
    floor (32661.5)     		tx = 32661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586524963378906 × 216)
    floor (0.586524963378906 × 65536)
    floor (38438.5)     		ty = 38438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32661 / 38438 ti = "16/32661/38438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32661/38438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32661 ÷ 216
    32661 ÷ 65536     		x = 0.498367309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38438 ÷ 216
    38438 ÷ 65536     		y = 0.586517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498367309570312 × 2 - 1) × π
    -0.003265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01025850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.543604441691437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01025850} λ = -0.01025850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543604441691437))-π/2
    2×atan(0.580651551265993)-π/2
    2×0.526071197790211-π/2
    1.05214239558042-1.57079632675     		φ = -0.51865393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01025850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.587769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51865393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.716681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32661 KachelY 38438 -0.01025850 -0.51865393 -0.587769 -29.716681
    Oben rechts KachelX + 1 32662 KachelY 38438 -0.01016262 -0.51865393 -0.582275 -29.716681
    Unten links KachelX 32661 KachelY + 1 38439 -0.01025850 -0.51873719 -0.587769 -29.721452
    Unten rechts KachelX + 1 32662 KachelY + 1 38439 -0.01016262 -0.51873719 -0.582275 -29.721452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51865393--0.51873719) × R
    8.32599999999184e-05 × 6371000     		dl = 530.44945999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51865393--0.51873719) × R
    8.32599999999184e-05 × 6371000     		dr = 530.44945999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01025850--0.01016262) × cos(-0.51865393) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.868487228720224 × 6371000     		do = 530.516709024845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01025850--0.01016262) × cos(-0.51873719) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.868445952766952 × 6371000     		du = 530.4914955477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51865393)-sin(-0.51873719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868487228720224-0.868445952766952)×R²
    abs(-0.01016262--0.01025850)×4.12759532717466e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.12759532717466e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.12759532717466e-05×40589641000000     		ar = 281405.614747865m²