Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3266 / 5570
↖ ↑ ↗
← S 54.213861°
W 36.474610°		 ← 2 857.43 m → S 54.213861°
W 36.430664°		 →
↑
2 856.57 m
↓
↑
2 856.57 m
↓
S 54.239550°
W 36.474610°		 ← 2 855.66 m →
8 159 905 m²		 S 54.239550°
W 36.430664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39874267578125 y=0.67999267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39874267578125 × 213)
    floor (0.39874267578125 × 8192)
    floor (3266.5)     		tx = 3266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67999267578125 × 213)
    floor (0.67999267578125 × 8192)
    floor (5570.5)     		ty = 5570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3266 / 5570 ti = "13/3266/5570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3266/5570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3266 ÷ 213
    3266 ÷ 8192     		x = 0.398681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5570 ÷ 213
    5570 ÷ 8192     		y = 0.679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398681640625 × 2 - 1) × π
    -0.20263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63660203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.35986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1305438406394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63660203} λ = -0.63660203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1305438406394))-π/2
    2×atan(0.322857625571457)-π/2
    2×0.312292976066995-π/2
    0.624585952133991-1.57079632675     		φ = -0.94621037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63660203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.474610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94621037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.213861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3266 KachelY 5570 -0.63660203 -0.94621037 -36.474610 -54.213861
    Oben rechts KachelX + 1 3267 KachelY 5570 -0.63583504 -0.94621037 -36.430664 -54.213861
    Unten links KachelX 3266 KachelY + 1 5571 -0.63660203 -0.94665874 -36.474610 -54.239550
    Unten rechts KachelX + 1 3267 KachelY + 1 5571 -0.63583504 -0.94665874 -36.430664 -54.239550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94621037--0.94665874) × R
    0.000448370000000087 × 6371000     		dl = 2856.56527000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94621037--0.94665874) × R
    0.000448370000000087 × 6371000     		dr = 2856.56527000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63660203--0.63583504) × cos(-0.94621037) × R
    0.000766990000000023 × 0.584761449028704 × 6371000     		do = 2857.43289692952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63660203--0.63583504) × cos(-0.94665874) × R
    0.000766990000000023 × 0.584397670139097 × 6371000     		du = 2855.65529382642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94621037)-sin(-0.94665874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.584761449028704-0.584397670139097)×R²
    abs(-0.63583504--0.63660203)×0.000363778889606592×R²
    0.000766990000000023×0.000363778889606592×6371000²
    0.000766990000000023×0.000363778889606592×40589641000000     		ar = 8159904.79178592m²