Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32638 / 16130
↖ ↑ ↗
← N 67.063152°
W  0.714111°		 ← 238.03 m → N 67.063152°
W  0.708618°		 →
↑
238.02 m
↓
↑
238.02 m
↓
N 67.061011°
W  0.714111°		 ← 238.05 m →
56 659 m²		 N 67.061011°
W  0.708618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498023986816406 y=0.246131896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498023986816406 × 216)
    floor (0.498023986816406 × 65536)
    floor (32638.5)     		tx = 32638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246131896972656 × 216)
    floor (0.246131896972656 × 65536)
    floor (16130.5)     		ty = 16130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32638 / 16130 ti = "16/32638/16130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32638/16130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32638 ÷ 216
    32638 ÷ 65536     		x = 0.498016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16130 ÷ 216
    16130 ÷ 65536     		y = 0.246124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.00396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01246359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246124267578125 × 2 - 1) × π
    0.50775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59514827175699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01246359} λ = -0.01246359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59514827175699))-π/2
    2×atan(4.9290598583058)-π/2
    2×1.37063456952433-π/2
    2.74126913904865-1.57079632675     		φ = 1.17047281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01246359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17047281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.063152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32638 KachelY 16130 -0.01246359 1.17047281 -0.714111 67.063152
    Oben rechts KachelX + 1 32639 KachelY 16130 -0.01236772 1.17047281 -0.708618 67.063152
    Unten links KachelX 32638 KachelY + 1 16131 -0.01246359 1.17043545 -0.714111 67.061011
    Unten rechts KachelX + 1 32639 KachelY + 1 16131 -0.01236772 1.17043545 -0.708618 67.061011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17047281-1.17043545) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dl = 238.020559999205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17047281-1.17043545) × R
    3.73599999998753e-05 × 6371000     		dr = 238.020559999205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01246359--0.01236772) × cos(1.17047281) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.389716300625268 × 6371000     		do = 238.033950191556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01246359--0.01236772) × cos(1.17043545) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.389750706483479 × 6371000     		du = 238.054964868968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17047281)-sin(1.17043545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389716300625268-0.389750706483479)×R²
    abs(-0.01236772--0.01246359)×3.44058582111839e-05×R²
    9.58699999999996e-05×3.44058582111839e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.44058582111839e-05×40589641000000     		ar = 56659.4750929849m²