Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32632 / 16120
↖ ↑ ↗
← N 67.084550°
W  0.747071°		 ← 237.85 m → N 67.084550°
W  0.741577°		 →
↑
237.83 m
↓
↑
237.83 m
↓
N 67.082411°
W  0.747071°		 ← 237.87 m →
56 570 m²		 N 67.082411°
W  0.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497932434082031 y=0.245979309082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497932434082031 × 216)
    floor (0.497932434082031 × 65536)
    floor (32632.5)     		tx = 32632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245979309082031 × 216)
    floor (0.245979309082031 × 65536)
    floor (16120.5)     		ty = 16120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32632 / 16120 ti = "16/32632/16120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32632/16120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32632 ÷ 216
    32632 ÷ 65536     		x = 0.4979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16120 ÷ 216
    16120 ÷ 65536     		y = 0.2459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2459716796875 × 2 - 1) × π
    0.508056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59610700974939
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01303884} λ = -0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59610700974939))-π/2
    2×atan(4.93378780132593)-π/2
    2×1.37082130498102-π/2
    2.74164260996205-1.57079632675     		φ = 1.17084628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17084628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.084550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32632 KachelY 16120 -0.01303884 1.17084628 -0.747071 67.084550
    Oben rechts KachelX + 1 32633 KachelY 16120 -0.01294296 1.17084628 -0.741577 67.084550
    Unten links KachelX 32632 KachelY + 1 16121 -0.01303884 1.17080895 -0.747071 67.082411
    Unten rechts KachelX + 1 32633 KachelY + 1 16121 -0.01294296 1.17080895 -0.741577 67.082411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17084628-1.17080895) × R
    3.73299999998356e-05 × 6371000     		dl = 237.829429998952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17084628-1.17080895) × R
    3.73299999998356e-05 × 6371000     		dr = 237.829429998952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01303884--0.01294296) × cos(1.17084628) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.389372331874061 × 6371000     		do = 237.84866519632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01303884--0.01294296) × cos(1.17080895) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.389406715535785 × 6371000     		du = 237.869668506972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17084628)-sin(1.17080895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389372331874061-0.389406715535785)×R²
    abs(-0.01294296--0.01303884)×3.43836617233695e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.43836617233695e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.43836617233695e-05×40589641000000     		ar = 56569.910079192m²