Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32631 / 16119
↖ ↑ ↗
← N 67.086689°
W  0.752563°		 ← 237.80 m → N 67.086689°
W  0.747071°		 →
↑
237.83 m
↓
↑
237.83 m
↓
N 67.084550°
W  0.752563°		 ← 237.82 m →
56 559 m²		 N 67.084550°
W  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497917175292969 y=0.245964050292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497917175292969 × 216)
    floor (0.497917175292969 × 65536)
    floor (32631.5)     		tx = 32631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245964050292969 × 216)
    floor (0.245964050292969 × 65536)
    floor (16119.5)     		ty = 16119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32631 / 16119 ti = "16/32631/16119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32631/16119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32631 ÷ 216
    32631 ÷ 65536     		x = 0.497909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16119 ÷ 216
    16119 ÷ 65536     		y = 0.245956420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497909545898438 × 2 - 1) × π
    -0.004180908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01313471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245956420898438 × 2 - 1) × π
    0.508087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59620288354863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01313471} λ = -0.01313471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59620288354863))-π/2
    2×atan(4.93426084498297)-π/2
    2×1.37083996945915-π/2
    2.7416799389183-1.57079632675     		φ = 1.17088361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01313471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.752563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17088361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.086689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32631 KachelY 16119 -0.01313471 1.17088361 -0.752563 67.086689
    Oben rechts KachelX + 1 32632 KachelY 16119 -0.01303884 1.17088361 -0.747071 67.086689
    Unten links KachelX 32631 KachelY + 1 16120 -0.01313471 1.17084628 -0.752563 67.084550
    Unten rechts KachelX + 1 32632 KachelY + 1 16120 -0.01303884 1.17084628 -0.747071 67.084550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17088361-1.17084628) × R
    3.73300000000576e-05 × 6371000     		dl = 237.829430000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17088361-1.17084628) × R
    3.73300000000576e-05 × 6371000     		dr = 237.829430000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01313471--0.01303884) × cos(1.17088361) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.389337947669736 × 6371000     		do = 237.802856833578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01313471--0.01303884) × cos(1.17084628) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.389372331874061 × 6371000     		du = 237.823858285061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17088361)-sin(1.17084628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389337947669736-0.389372331874061)×R²
    abs(-0.01303884--0.01313471)×3.43842043251663e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.43842043251663e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.43842043251663e-05×40589641000000     		ar = 56559.0152811347m²