Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32626 / 15987
↖ ↑ ↗
← N 67.367357°
W  0.780029°		 ← 235.04 m → N 67.367357°
W  0.774536°		 →
↑
235.09 m
↓
↑
235.09 m
↓
N 67.365243°
W  0.780029°		 ← 235.06 m →
55 259 m²		 N 67.365243°
W  0.774536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497840881347656 y=0.243949890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497840881347656 × 216)
    floor (0.497840881347656 × 65536)
    floor (32626.5)     		tx = 32626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243949890136719 × 216)
    floor (0.243949890136719 × 65536)
    floor (15987.5)     		ty = 15987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32626 / 15987 ti = "16/32626/15987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32626/15987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32626 ÷ 216
    32626 ÷ 65536     		x = 0.497833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15987 ÷ 216
    15987 ÷ 65536     		y = 0.243942260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.00433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01361408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243942260742188 × 2 - 1) × π
    0.512115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60885822504832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01361408} λ = -0.01361408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60885822504832))-π/2
    2×atan(4.99710240300248)-π/2
    2×1.37328925877139-π/2
    2.74657851754278-1.57079632675     		φ = 1.17578219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01361408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.780029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17578219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.367357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32626 KachelY 15987 -0.01361408 1.17578219 -0.780029 67.367357
    Oben rechts KachelX + 1 32627 KachelY 15987 -0.01351821 1.17578219 -0.774536 67.367357
    Unten links KachelX 32626 KachelY + 1 15988 -0.01361408 1.17574529 -0.780029 67.365243
    Unten rechts KachelX + 1 32627 KachelY + 1 15988 -0.01351821 1.17574529 -0.774536 67.365243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17578219-1.17574529) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dl = 235.089900000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17578219-1.17574529) × R
    3.69000000000064e-05 × 6371000     		dr = 235.089900000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01361408--0.01351821) × cos(1.17578219) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.384821236982913 × 6371000     		do = 235.044105185439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01361408--0.01351821) × cos(1.17574529) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.384855295093405 × 6371000     		du = 235.064907462796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17578219)-sin(1.17574529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384821236982913-0.384855295093405)×R²
    abs(-0.01351821--0.01361408)×3.40581104912863e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.40581104912863e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.40581104912863e-05×40589641000000     		ar = 55258.9403928878m²