Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32625 / 15986
↖ ↑ ↗
← N 67.369471°
W  0.785522°		 ← 235.02 m → N 67.369471°
W  0.780029°		 →
↑
235.03 m
↓
↑
235.03 m
↓
N 67.367357°
W  0.785522°		 ← 235.04 m →
55 239 m²		 N 67.367357°
W  0.780029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497825622558594 y=0.243934631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497825622558594 × 216)
    floor (0.497825622558594 × 65536)
    floor (32625.5)     		tx = 32625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243934631347656 × 216)
    floor (0.243934631347656 × 65536)
    floor (15986.5)     		ty = 15986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32625 / 15986 ti = "16/32625/15986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32625/15986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32625 ÷ 216
    32625 ÷ 65536     		x = 0.497817993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15986 ÷ 216
    15986 ÷ 65536     		y = 0.243927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497817993164062 × 2 - 1) × π
    -0.004364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01370995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.243927001953125 × 2 - 1) × π
    0.51214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60895409884756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01370995} λ = -0.01370995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60895409884756))-π/2
    2×atan(4.99758151716193)-π/2
    2×1.37330770509219-π/2
    2.74661541018437-1.57079632675     		φ = 1.17581908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01370995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.785522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17581908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.369471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32625 KachelY 15986 -0.01370995 1.17581908 -0.785522 67.369471
    Oben rechts KachelX + 1 32626 KachelY 15986 -0.01361408 1.17581908 -0.780029 67.369471
    Unten links KachelX 32625 KachelY + 1 15987 -0.01370995 1.17578219 -0.785522 67.367357
    Unten rechts KachelX + 1 32626 KachelY + 1 15987 -0.01361408 1.17578219 -0.780029 67.367357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17581908-1.17578219) × R
    3.68899999998451e-05 × 6371000     		dl = 235.026189999013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17581908-1.17578219) × R
    3.68899999998451e-05 × 6371000     		dr = 235.026189999013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01370995--0.01361408) × cos(1.17581908) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.384787187578499 × 6371000     		do = 235.023308225642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01370995--0.01361408) × cos(1.17578219) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.384821236982913 × 6371000     		du = 235.044105185434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17581908)-sin(1.17578219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384787187578499-0.384821236982913)×R²
    abs(-0.01361408--0.01370995)×3.40494044144268e-05×R²
    9.58699999999996e-05×3.40494044144268e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.40494044144268e-05×40589641000000     		ar = 55239.076614515m²