Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3262 / 5566
↖ ↑ ↗
← S 54.110943°
W 36.650391°		 ← 2 864.55 m → S 54.110943°
W 36.606445°		 →
↑
2 863.64 m
↓
↑
2 863.64 m
↓
S 54.136696°
W 36.650391°		 ← 2 862.77 m →
8 200 479 m²		 S 54.136696°
W 36.606445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.39825439453125 y=0.67950439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.39825439453125 × 213)
    floor (0.39825439453125 × 8192)
    floor (3262.5)     		tx = 3262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.67950439453125 × 213)
    floor (0.67950439453125 × 8192)
    floor (5566.5)     		ty = 5566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3262 / 5566 ti = "13/3262/5566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3262/5566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3262 ÷ 213
    3262 ÷ 8192     		x = 0.398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5566 ÷ 213
    5566 ÷ 8192     		y = 0.679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63966999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63966999} λ = -0.63966999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12747587906372))-π/2
    2×atan(0.323849661346829)-π/2
    2×0.31319110555223-π/2
    0.626382211104459-1.57079632675     		φ = -0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63966999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3262 KachelY 5566 -0.63966999 -0.94441412 -36.650391 -54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 3263 KachelY 5566 -0.63890300 -0.94441412 -36.606445 -54.110943
    Unten links KachelX 3262 KachelY + 1 5567 -0.63966999 -0.94486360 -36.650391 -54.136696
    Unten rechts KachelX + 1 3263 KachelY + 1 5567 -0.63890300 -0.94486360 -36.606445 -54.136696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94441412--0.94486360) × R
    0.000449480000000002 × 6371000     		dl = 2863.63708000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94441412--0.94486360) × R
    0.000449480000000002 × 6371000     		dr = 2863.63708000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63966999--0.63890300) × cos(-0.94441412) × R
    0.000766990000000023 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 2864.54852722648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63966999--0.63890300) × cos(-0.94486360) × R
    0.000766990000000023 × 0.585853425350789 × 6371000     		du = 2862.76883190023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94441412)-sin(-0.94486360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.585853425350789)×R²
    abs(-0.63890300--0.63966999)×0.000364207054144416×R²
    0.000766990000000023×0.000364207054144416×6371000²
    0.000766990000000023×0.000364207054144416×40589641000000     		ar = 8200479.31732411m²