Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32617 / 15817
↖ ↑ ↗
← N 67.724026°
W  0.829468°		 ← 231.53 m → N 67.724026°
W  0.823975°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
N 67.721944°
W  0.829468°		 ← 231.55 m →
53 621 m²		 N 67.721944°
W  0.823975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497703552246094 y=0.241355895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497703552246094 × 216)
    floor (0.497703552246094 × 65536)
    floor (32617.5)     		tx = 32617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241355895996094 × 216)
    floor (0.241355895996094 × 65536)
    floor (15817.5)     		ty = 15817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32617 / 15817 ti = "16/32617/15817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32617/15817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32617 ÷ 216
    32617 ÷ 65536     		x = 0.497695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15817 ÷ 216
    15817 ÷ 65536     		y = 0.241348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241348266601562 × 2 - 1) × π
    0.517303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62515677091914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01447694} λ = -0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62515677091914))-π/2
    2×atan(5.07921524801006)-π/2
    2×1.37640178154594-π/2
    2.75280356309187-1.57079632675     		φ = 1.18200724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18200724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.724026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32617 KachelY 15817 -0.01447694 1.18200724 -0.829468 67.724026
    Oben rechts KachelX + 1 32618 KachelY 15817 -0.01438107 1.18200724 -0.823975 67.724026
    Unten links KachelX 32617 KachelY + 1 15818 -0.01447694 1.18197089 -0.829468 67.721944
    Unten rechts KachelX + 1 32618 KachelY + 1 15818 -0.01438107 1.18197089 -0.823975 67.721944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18200724-1.18197089) × R
    3.63499999997963e-05 × 6371000     		dl = 231.585849998702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18200724-1.18197089) × R
    3.63499999997963e-05 × 6371000     		dr = 231.585849998702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(1.18200724) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.379068152065614 × 6371000     		do = 231.530191278181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01447694--0.01438107) × cos(1.18197089) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.379101788969481 × 6371000     		du = 231.550736287683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18200724)-sin(1.18197089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379068152065614-0.379101788969481)×R²
    abs(-0.01438107--0.01447694)×3.36369038669848e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.36369038669848e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.36369038669848e-05×40589641000000     		ar = 53621.4951202564m²