Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32607 / 15839
↖ ↑ ↗
← N 67.678171°
W  0.884399°		 ← 231.98 m → N 67.678171°
W  0.878906°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
N 67.676085°
W  0.884399°		 ← 232 m →
53 830 m²		 N 67.676085°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497550964355469 y=0.241691589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497550964355469 × 216)
    floor (0.497550964355469 × 65536)
    floor (32607.5)     		tx = 32607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241691589355469 × 216)
    floor (0.241691589355469 × 65536)
    floor (15839.5)     		ty = 15839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32607 / 15839 ti = "16/32607/15839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32607/15839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32607 ÷ 216
    32607 ÷ 65536     		x = 0.497543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15839 ÷ 216
    15839 ÷ 65536     		y = 0.241683959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497543334960938 × 2 - 1) × π
    -0.004913330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01543568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241683959960938 × 2 - 1) × π
    0.516632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62304754733586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01543568} λ = -0.01543568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62304754733586))-π/2
    2×atan(5.06851333775271)-π/2
    2×1.37600162145085-π/2
    2.7520032429017-1.57079632675     		φ = 1.18120692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01543568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.884399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18120692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.678171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32607 KachelY 15839 -0.01543568 1.18120692 -0.884399 67.678171
    Oben rechts KachelX + 1 32608 KachelY 15839 -0.01533981 1.18120692 -0.878906 67.678171
    Unten links KachelX 32607 KachelY + 1 15840 -0.01543568 1.18117050 -0.884399 67.676085
    Unten rechts KachelX + 1 32608 KachelY + 1 15840 -0.01533981 1.18117050 -0.878906 67.676085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18120692-1.18117050) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dl = 232.031820000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18120692-1.18117050) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dr = 232.031820000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(1.18120692) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.379808621711146 × 6371000     		do = 231.982461081724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01543568--0.01533981) × cos(1.18117050) × R
    9.58699999999996e-05 × 0.37984231232963 × 6371000     		du = 232.003038899457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18120692)-sin(1.18117050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379808621711146-0.37984231232963)×R²
    abs(-0.01533981--0.01543568)×3.36906184840724e-05×R²
    9.58699999999996e-05×3.36906184840724e-05×6371000²
    9.58699999999996e-05×3.36906184840724e-05×40589641000000     		ar = 53829.7000132316m²