Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3259 / 3124
↖ ↑ ↗
← S 68.269387°
E106.435547°		 ← 3 618.38 m → S 68.269387°
E106.523437°		 →
↑
3 615.80 m
↓
↑
3 615.80 m
↓
S 68.301905°
E106.435547°		 ← 3 613.23 m →
13 074 018 m²		 S 68.301905°
E106.523437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7957763671875 y=0.7628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7957763671875 × 212)
    floor (0.7957763671875 × 4096)
    floor (3259.5)     		tx = 3259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7628173828125 × 212)
    floor (0.7628173828125 × 4096)
    floor (3124.5)     		ty = 3124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3259 / 3124 ti = "12/3259/3124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3259/3124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3259 ÷ 212
    3259 ÷ 4096     		x = 0.795654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3124 ÷ 212
    3124 ÷ 4096     		y = 0.7626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795654296875 × 2 - 1) × π
    0.59130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85765073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7626953125 × 2 - 1) × π
    -0.525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65056332771777
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85765073} λ = 1.85765073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65056332771777))-π/2
    2×atan(0.191941752050689)-π/2
    2×0.189635374377561-π/2
    0.379270748755122-1.57079632675     		φ = -1.19152558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85765073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.435547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19152558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.269387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3259 KachelY 3124 1.85765073 -1.19152558 106.435547 -68.269387
    Oben rechts KachelX + 1 3260 KachelY 3124 1.85918471 -1.19152558 106.523437 -68.269387
    Unten links KachelX 3259 KachelY + 1 3125 1.85765073 -1.19209312 106.435547 -68.301905
    Unten rechts KachelX + 1 3260 KachelY + 1 3125 1.85918471 -1.19209312 106.523437 -68.301905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19152558--1.19209312) × R
    0.000567540000000033 × 6371000     		dl = 3615.79734000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19152558--1.19209312) × R
    0.000567540000000033 × 6371000     		dr = 3615.79734000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85765073-1.85918471) × cos(-1.19152558) × R
    0.00153398000000005 × 0.370243139181402 × 6371000     		do = 3618.38123055702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85765073-1.85918471) × cos(-1.19209312) × R
    0.00153398000000005 × 0.369715871877928 × 6371000     		du = 3613.2282542761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19152558)-sin(-1.19209312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370243139181402-0.369715871877928)×R²
    abs(1.85918471-1.85765073)×0.0005272673034733×R²
    0.00153398000000005×0.0005272673034733×6371000²
    0.00153398000000005×0.0005272673034733×40589641000000     		ar = 13074017.5205219m²