Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32586 / 16105
↖ ↑ ↗
← N 67.116612°
W  0.999756°		 ← 237.51 m → N 67.116612°
W  0.994263°		 →
↑
237.51 m
↓
↑
237.51 m
↓
N 67.114476°
W  0.999756°		 ← 237.53 m →
56 413 m²		 N 67.114476°
W  0.994263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497230529785156 y=0.245750427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497230529785156 × 216)
    floor (0.497230529785156 × 65536)
    floor (32586.5)     		tx = 32586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245750427246094 × 216)
    floor (0.245750427246094 × 65536)
    floor (16105.5)     		ty = 16105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32586 / 16105 ti = "16/32586/16105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32586/16105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32586 ÷ 216
    32586 ÷ 65536     		x = 0.497222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16105 ÷ 216
    16105 ÷ 65536     		y = 0.245742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.00555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01744903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245742797851562 × 2 - 1) × π
    0.508514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59754511673799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01744903} λ = -0.01744903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59754511673799))-π/2
    2×atan(4.94088822040071)-π/2
    2×1.37110109914983-π/2
    2.74220219829966-1.57079632675     		φ = 1.17140587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01744903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17140587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.116612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32586 KachelY 16105 -0.01744903 1.17140587 -0.999756 67.116612
    Oben rechts KachelX + 1 32587 KachelY 16105 -0.01735316 1.17140587 -0.994263 67.116612
    Unten links KachelX 32586 KachelY + 1 16106 -0.01744903 1.17136859 -0.999756 67.114476
    Unten rechts KachelX + 1 32587 KachelY + 1 16106 -0.01735316 1.17136859 -0.994263 67.114476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17140587-1.17136859) × R
    3.72800000001394e-05 × 6371000     		dl = 237.510880000888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17140587-1.17136859) × R
    3.72800000001394e-05 × 6371000     		dr = 237.510880000888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01744903--0.01735316) × cos(1.17140587) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.388856843530224 × 6371000     		do = 237.509004309068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01744903--0.01735316) × cos(1.17136859) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.38889118925653 × 6371000     		du = 237.529982258647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17140587)-sin(1.17136859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388856843530224-0.38889118925653)×R²
    abs(-0.01735316--0.01744903)×3.43457263060065e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.43457263060065e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.43457263060065e-05×40589641000000     		ar = 56413.4638738706m²