Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32582 / 15806
↖ ↑ ↗
← N 67.746920°
W  1.021729°		 ← 231.33 m → N 67.746920°
W  1.016235°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
N 67.744839°
W  1.021729°		 ← 231.35 m →
53 516 m²		 N 67.744839°
W  1.016235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497169494628906 y=0.241188049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497169494628906 × 216)
    floor (0.497169494628906 × 65536)
    floor (32582.5)     		tx = 32582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241188049316406 × 216)
    floor (0.241188049316406 × 65536)
    floor (15806.5)     		ty = 15806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32582 / 15806 ti = "16/32582/15806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32582/15806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32582 ÷ 216
    32582 ÷ 65536     		x = 0.497161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15806 ÷ 216
    15806 ÷ 65536     		y = 0.241180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.00567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01783253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241180419921875 × 2 - 1) × π
    0.51763916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62621138271078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01783253} λ = -0.01783253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62621138271078))-π/2
    2×atan(5.08457467386301)-π/2
    2×1.37660156891134-π/2
    2.75320313782269-1.57079632675     		φ = 1.18240681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01783253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.021729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18240681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.746920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32582 KachelY 15806 -0.01783253 1.18240681 -1.021729 67.746920
    Oben rechts KachelX + 1 32583 KachelY 15806 -0.01773665 1.18240681 -1.016235 67.746920
    Unten links KachelX 32582 KachelY + 1 15807 -0.01783253 1.18237050 -1.021729 67.744839
    Unten rechts KachelX + 1 32583 KachelY + 1 15807 -0.01773665 1.18237050 -1.016235 67.744839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18240681-1.18237050) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18240681-1.18237050) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01783253--0.01773665) × cos(1.18240681) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.378698372221005 × 6371000     		do = 231.328461144791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01783253--0.01773665) × cos(1.18237050) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		du = 231.348989045113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18240681)-sin(1.18237050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378698372221005-0.378731977607902)×R²
    abs(-0.01773665--0.01783253)×3.36053868965069e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.36053868965069e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.36053868965069e-05×40589641000000     		ar = 53515.8209340587m²