Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32581 / 15807
↖ ↑ ↗
← N 67.744839°
W  1.027222°		 ← 231.32 m → N 67.744839°
W  1.021729°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
N 67.742759°
W  1.027222°		 ← 231.35 m →
53 515 m²		 N 67.742759°
W  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497154235839844 y=0.241203308105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497154235839844 × 216)
    floor (0.497154235839844 × 65536)
    floor (32581.5)     		tx = 32581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241203308105469 × 216)
    floor (0.241203308105469 × 65536)
    floor (15807.5)     		ty = 15807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32581 / 15807 ti = "16/32581/15807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32581/15807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32581 ÷ 216
    32581 ÷ 65536     		x = 0.497146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15807 ÷ 216
    15807 ÷ 65536     		y = 0.241195678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.005706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01792840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241195678710938 × 2 - 1) × π
    0.517608642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62611550891154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01792840} λ = -0.01792840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62611550891154))-π/2
    2×atan(5.08408721973892)-π/2
    2×1.3765834144801-π/2
    2.7531668289602-1.57079632675     		φ = 1.18237050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01792840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.027222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18237050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.744839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32581 KachelY 15807 -0.01792840 1.18237050 -1.027222 67.744839
    Oben rechts KachelX + 1 32582 KachelY 15807 -0.01783253 1.18237050 -1.021729 67.744839
    Unten links KachelX 32581 KachelY + 1 15808 -0.01792840 1.18233419 -1.027222 67.742759
    Unten rechts KachelX + 1 32582 KachelY + 1 15808 -0.01783253 1.18233419 -1.021729 67.742759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18237050-1.18233419) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18237050-1.18233419) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01792840--0.01783253) × cos(1.18237050) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378731977607902 × 6371000     		do = 231.324860030824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01792840--0.01783253) × cos(1.18233419) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378765582495472 × 6371000     		du = 231.345385485164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18237050)-sin(1.18233419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378731977607902-0.378765582495472)×R²
    abs(-0.01783253--0.01792840)×3.36048875702599e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.36048875702599e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.36048875702599e-05×40589641000000     		ar = 53514.987602094m²