Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32581 / 15789
↖ ↑ ↗
← N 67.782258°
W  1.027222°		 ← 230.96 m → N 67.782258°
W  1.021729°		 →
↑
231.01 m
↓
↑
231.01 m
↓
N 67.780180°
W  1.027222°		 ← 230.98 m →
53 356 m²		 N 67.780180°
W  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497154235839844 y=0.240928649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497154235839844 × 216)
    floor (0.497154235839844 × 65536)
    floor (32581.5)     		tx = 32581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240928649902344 × 216)
    floor (0.240928649902344 × 65536)
    floor (15789.5)     		ty = 15789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32581 / 15789 ti = "16/32581/15789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32581/15789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32581 ÷ 216
    32581 ÷ 65536     		x = 0.497146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15789 ÷ 216
    15789 ÷ 65536     		y = 0.240921020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497146606445312 × 2 - 1) × π
    -0.005706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01792840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240921020507812 × 2 - 1) × π
    0.518157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62784123729787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01792840} λ = -0.01792840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62784123729787))-π/2
    2×atan(5.0928685482872)-π/2
    2×1.37690994788289-π/2
    2.75381989576578-1.57079632675     		φ = 1.18302357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01792840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.027222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18302357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.782258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32581 KachelY 15789 -0.01792840 1.18302357 -1.027222 67.782258
    Oben rechts KachelX + 1 32582 KachelY 15789 -0.01783253 1.18302357 -1.021729 67.782258
    Unten links KachelX 32581 KachelY + 1 15790 -0.01792840 1.18298731 -1.027222 67.780180
    Unten rechts KachelX + 1 32582 KachelY + 1 15790 -0.01783253 1.18298731 -1.021729 67.780180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18302357-1.18298731) × R
    3.62600000001212e-05 × 6371000     		dl = 231.012460000772m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18302357-1.18298731) × R
    3.62600000001212e-05 × 6371000     		dr = 231.012460000772m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01792840--0.01783253) × cos(1.18302357) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378127476424123 × 6371000     		do = 230.955638100821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01792840--0.01783253) × cos(1.18298731) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378161043998795 × 6371000     		du = 230.976140764899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18302357)-sin(1.18298731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378127476424123-0.378161043998795)×R²
    abs(-0.01783253--0.01792840)×3.35675746716557e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.35675746716557e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.35675746716557e-05×40589641000000     		ar = 53355.9982999857m²