Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32580 / 15796
↖ ↑ ↗
← N 67.767713°
W  1.032715°		 ← 231.10 m → N 67.767713°
W  1.027222°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
N 67.765635°
W  1.032715°		 ← 231.12 m →
53 404 m²		 N 67.765635°
W  1.027222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497138977050781 y=0.241035461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497138977050781 × 216)
    floor (0.497138977050781 × 65536)
    floor (32580.5)     		tx = 32580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241035461425781 × 216)
    floor (0.241035461425781 × 65536)
    floor (15796.5)     		ty = 15796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32580 / 15796 ti = "16/32580/15796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32580/15796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32580 ÷ 216
    32580 ÷ 65536     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15796 ÷ 216
    15796 ÷ 65536     		y = 0.24102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24102783203125 × 2 - 1) × π
    0.5179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62717012070319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62717012070319))-π/2
    2×atan(5.08945178634098)-π/2
    2×1.37678302464787-π/2
    2.75356604929574-1.57079632675     		φ = 1.18276972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18276972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.767713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32580 KachelY 15796 -0.01802427 1.18276972 -1.032715 67.767713
    Oben rechts KachelX + 1 32581 KachelY 15796 -0.01792840 1.18276972 -1.027222 67.767713
    Unten links KachelX 32580 KachelY + 1 15797 -0.01802427 1.18273345 -1.032715 67.765635
    Unten rechts KachelX + 1 32581 KachelY + 1 15797 -0.01792840 1.18273345 -1.027222 67.765635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18276972-1.18273345) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dl = 231.076170000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18276972-1.18273345) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dr = 231.076170000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01792840) × cos(1.18276972) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378362466773775 × 6371000     		do = 231.099167332448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01792840) × cos(1.18273345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378396040123136 × 6371000     		du = 231.119673523636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18276972)-sin(1.18273345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378362466773775-0.378396040123136)×R²
    abs(-0.01792840--0.01802427)×3.35733493610491e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35733493610491e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35733493610491e-05×40589641000000     		ar = 53403.8797294175m²