Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32571 / 103157
↖ ↑ ↗
← S 71.291104°
W 90.541077°		 ← 97.97 m → S 71.291104°
W 90.538330°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 71.291986°
W 90.541077°		 ← 97.96 m →
9 599 m²		 S 71.291986°
W 90.538330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248500823974609 y=0.787029266357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248500823974609 × 217)
    floor (0.248500823974609 × 131072)
    floor (32571.5)     		tx = 32571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787029266357422 × 217)
    floor (0.787029266357422 × 131072)
    floor (103157.5)     		ty = 103157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32571 / 103157 ti = "17/32571/103157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32571/103157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32571 ÷ 217
    32571 ÷ 131072     		x = 0.248497009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103157 ÷ 217
    103157 ÷ 131072     		y = 0.787025451660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248497009277344 × 2 - 1) × π
    -0.503005981445312 × 3.1415926535     		Λ = -1.58023990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787025451660156 × 2 - 1) × π
    -0.574050903320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.80343410060613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58023990} λ = -1.58023990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80343410060613))-π/2
    2×atan(0.164732208783359)-π/2
    2×0.163265913785612-π/2
    0.326531827571224-1.57079632675     		φ = -1.24426450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58023990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.541077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24426450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.291104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32571 KachelY 103157 -1.58023990 -1.24426450 -90.541077 -71.291104
    Oben rechts KachelX + 1 32572 KachelY 103157 -1.58019196 -1.24426450 -90.538330 -71.291104
    Unten links KachelX 32571 KachelY + 1 103158 -1.58023990 -1.24427988 -90.541077 -71.291986
    Unten rechts KachelX + 1 32572 KachelY + 1 103158 -1.58019196 -1.24427988 -90.538330 -71.291986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24426450--1.24427988) × R
    1.53799999997872e-05 × 6371000     		dl = 97.9859799986444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24426450--1.24427988) × R
    1.53799999997872e-05 × 6371000     		dr = 97.9859799986444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58023990--1.58019196) × cos(-1.24426450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320760047436322 × 6371000     		do = 97.9683748506096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58023990--1.58019196) × cos(-1.24427988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.320745480070065 × 6371000     		du = 97.9639256019906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24426450)-sin(-1.24427988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320760047436322-0.320745480070065)×R²
    abs(-1.58019196--1.58023990)×1.45673662574342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45673662574342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45673662574342e-05×40589641000000     		ar = 9599.30923669311m²