Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32570 / 15803
↖ ↑ ↗
← N 67.753160°
W  1.087646°		 ← 231.24 m → N 67.753160°
W  1.082153°		 →
↑
231.27 m
↓
↑
231.27 m
↓
N 67.751080°
W  1.087646°		 ← 231.26 m →
53 481 m²		 N 67.751080°
W  1.082153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496986389160156 y=0.241142272949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496986389160156 × 216)
    floor (0.496986389160156 × 65536)
    floor (32570.5)     		tx = 32570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241142272949219 × 216)
    floor (0.241142272949219 × 65536)
    floor (15803.5)     		ty = 15803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32570 / 15803 ti = "16/32570/15803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32570/15803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32570 ÷ 216
    32570 ÷ 65536     		x = 0.496978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15803 ÷ 216
    15803 ÷ 65536     		y = 0.241134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.00604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01898301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241134643554688 × 2 - 1) × π
    0.517730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62649900410851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01898301} λ = -0.01898301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62649900410851))-π/2
    2×atan(5.08603731667112)-π/2
    2×1.37665602254058-π/2
    2.75331204508117-1.57079632675     		φ = 1.18251572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01898301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.087646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18251572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.753160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32570 KachelY 15803 -0.01898301 1.18251572 -1.087646 67.753160
    Oben rechts KachelX + 1 32571 KachelY 15803 -0.01888714 1.18251572 -1.082153 67.753160
    Unten links KachelX 32570 KachelY + 1 15804 -0.01898301 1.18247942 -1.087646 67.751080
    Unten rechts KachelX + 1 32571 KachelY + 1 15804 -0.01888714 1.18247942 -1.082153 67.751080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18251572-1.18247942) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dl = 231.267300000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18251572-1.18247942) × R
    3.63000000001001e-05 × 6371000     		dr = 231.267300000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01898301--0.01888714) × cos(1.18251572) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378597571576029 × 6371000     		do = 231.242766470341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01898301--0.01888714) × cos(1.18247942) × R
    9.58700000000014e-05 × 0.378631169204887 × 6371000     		du = 231.263287491149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18251572)-sin(1.18247942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378597571576029-0.378631169204887)×R²
    abs(-0.01888714--0.01898301)×3.35976288584616e-05×R²
    9.58700000000014e-05×3.35976288584616e-05×6371000²
    9.58700000000014e-05×3.35976288584616e-05×40589641000000     		ar = 53481.263172803m²